Номер 2.522, страница 113, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.522. Найдите произведение дробей 45 и 139 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

2.522

$$\begin{gathered} \frac{4}{5} · \frac{13}{9} = \frac{4 · 13}{5 · 9} = \frac{52}{45}; \\ \frac{5}{4} · \frac{9}{13} = \frac{5 · 9}{4 · 13} = \frac{45}{52}. \end{gathered}$$

Произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

Пример:

$$\begin{gathered} \frac{3}{7} · \frac{2}{5} = \frac{3 · 2}{7 · 5} = \frac{6}{35} \\ \frac{7}{3} · \frac{5}{2} = \frac{7 · 5}{3 · 2} = \frac{35}{6} \end{gathered}$$

числа $\frac{6}{35}$ и $\frac{35}{6}$ являются взаимно обратными

Пусть даны дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$– произведение дробей

$\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$ – обратные дроби

$\frac{b}{a} · \frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$ – произведение обратных дробей

$\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$– взаимно обратные числа, доказано.

Найдите произведение дробей $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{13}{9} $

Чтобы найти произведение двух дробей, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Произведение числителей станет новым числителем, а произведение знаменателей — новым знаменателем.

$ \frac{4}{5} \cdot \frac{13}{9} = \frac{4 \cdot 13}{5 \cdot 9} = \frac{52}{45} $

Ответ: $ \frac{52}{45} $

и произведение дробей, обратных данным.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами ее числитель и знаменатель.

Дробь, обратная дроби $ \frac{4}{5} $, это $ \frac{5}{4} $.
Дробь, обратная дроби $ \frac{13}{9} $, это $ \frac{9}{13} $.

Теперь найдем произведение этих обратных дробей:

$ \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{13} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 13} = \frac{45}{52} $

Ответ: $ \frac{45}{52} $

Каким свойством обладают эти два произведения?

Первое произведение равно $ \frac{52}{45} $, а второе — $ \frac{45}{52} $. Эти два числа являются взаимно обратными, так как их числители и знаменатели поменяны местами. Проверим, равно ли их произведение единице:

$ \frac{52}{45} \cdot \frac{45}{52} = \frac{52 \cdot 45}{45 \cdot 52} = 1 $

Ответ: Эти два произведения являются взаимно обратными числами.

Проверьте ваше предположение ещё на одном примере.

Возьмем для примера две другие дроби: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{11} $.
1. Находим их произведение: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 11} = \frac{14}{33} $.
2. Находим дроби, обратные данным: $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{11}{7} $.
3. Находим произведение обратных дробей: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{11}{7} = \frac{3 \cdot 11}{2 \cdot 7} = \frac{33}{14} $.
Полученные результаты $ \frac{14}{33} $ и $ \frac{33}{14} $ также являются взаимно обратными числами. Предположение подтвердилось.

Ответ: Предположение подтвердилось на примере дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{11} $, произведения которых равны $ \frac{14}{33} $ и $ \frac{33}{14} $.

Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Пусть нам даны две произвольные дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $, где $ a, b, c, d $ — натуральные числа (то есть не равны нулю).

1. Найдем произведение этих дробей. Обозначим его как $ P_1 $:
$ P_1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

2. Найдем дроби, обратные данным. Это будут дроби $ \frac{b}{a} $ и $ \frac{d}{c} $.

3. Найдем произведение обратных дробей. Обозначим его как $ P_2 $:
$ P_2 = \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b \cdot d}{a \cdot c} $

4. Чтобы доказать, что произведения $ P_1 $ и $ P_2 $ являются взаимно обратными, нужно показать, что их произведение равно 1:
$ P_1 \cdot P_2 = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{b \cdot d}{a \cdot c} = \frac{(a \cdot c) \cdot (b \cdot d)}{(b \cdot d) \cdot (a \cdot c)} = 1 $

Поскольку произведение $ P_1 $ и $ P_2 $ равно 1, они по определению являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение двух дробей $ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $ и произведение их обратных дробей $ \frac{b \cdot d}{a \cdot c} $ всегда являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно 1.