Номер 4.346, страница 64, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.346. Верны ли следующие равенства:

а) 0,555... = 59; б) 4,(148) = 4427; в) 0,0202... = 299; г) 0,(12) = 433; д) 0,41666... = 512; е) 5,4(06) = 567165?

4.346

$\mathbf{а}\mathbf{)} 0,555\dots = \frac{5}{9} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4,(148) = 4\frac{4}{27} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,0202\dots = \frac{2}{99} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 0,(12) = \frac{4}{33} – \mathrm{верно}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }0,41666\dots = \frac{5}{12}– \mathrm{верно}$

$\mathbf{е}\mathbf{)} 5,4(06) = 5\frac{67}{165} – \mathrm{верно}$

а) Проверим равенство $0,555... = \frac{5}{9}$.

Данное число является чистой периодической десятичной дробью, которую можно записать как $0,(5)$. Для перевода такой дроби в обыкновенную, нужно в числитель записать число в периоде (5), а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде (одна). Таким образом, $0,(5) = \frac{5}{9}$.

Алгебраический способ:

Пусть $x = 0,555...$

Умножим обе части на 10:

$10x = 5,555...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 5,555... - 0,555...$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $4,(148) = 4\frac{4}{27}$.

Это смешанное число, состоящее из целой части 4 и дробной части $0,(148)$. Преобразуем периодическую дробь $0,(148)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,148148...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим обе части на 1000:

$1000x = 148,148148...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 148,148148... - 0,148148...$

$999x = 148$

$x = \frac{148}{999}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $148 = 4 \times 37$ и $999 = 27 \times 37$.

$x = \frac{4 \times 37}{27 \times 37} = \frac{4}{27}$

Следовательно, $4,(148) = 4 + 0,(148) = 4 + \frac{4}{27} = 4\frac{4}{27}$. Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

в) Проверим равенство $0,0202... = \frac{2}{99}$.

Данное число является чистой периодической десятичной дробью $0,(02)$.

Пусть $x = 0,0202...$

Период дроби состоит из двух цифр, поэтому умножим обе части на 100:

$100x = 2,0202...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 2,0202... - 0,0202...$

$99x = 2$

$x = \frac{2}{99}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

г) Проверим равенство $0,(12) = \frac{4}{33}$.

Дробь $0,(12)$ является чистой периодической.

Пусть $x = 0,1212...$

Период состоит из двух цифр, умножим на 100:

$100x = 12,1212...$

Вычтем исходное уравнение:

$100x - x = 12,1212... - 0,1212...$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$x = \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

д) Проверим равенство $0,41666... = \frac{5}{12}$.

Данное число является смешанной периодической десятичной дробью $0,41(6)$.

Пусть $x = 0,41666...$

Умножим на 100, чтобы непериодическая часть (41) оказалась слева от запятой:

$100x = 41,666...$

Умножим исходное уравнение на 1000, чтобы и один период (6) оказался слева от запятой:

$1000x = 416,666...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 100x = 416,666... - 41,666...$

$900x = 375$

$x = \frac{375}{900}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 375 и 900 равен 75:

$x = \frac{375 \div 75}{900 \div 75} = \frac{5}{12}$

Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

е) Проверим равенство $5,4(06) = 5\frac{67}{165}$.

Рассмотрим дробную часть $0,4(06)$. Это смешанная периодическая дробь.

Пусть $x = 0,40606...$

Умножим на 10, чтобы непериодическая часть (4) оказалась слева от запятой:

$10x = 4,0606...$

Умножим исходное уравнение на 1000, чтобы и один период (06) оказался слева от запятой:

$1000x = 406,0606...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 406,0606... - 4,0606...$

$990x = 402$

$x = \frac{402}{990}$

Сократим дробь на 6 (так как оба числа делятся на 2 и на 3):

$x = \frac{402 \div 6}{990 \div 6} = \frac{67}{165}$

Число 67 является простым, поэтому дробь несократима.

Таким образом, $5,4(06) = 5 + 0,4(06) = 5 + \frac{67}{165} = 5\frac{67}{165}$. Равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.