Номер 6.8, страница 99, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.8. Развивай мышление. В клетках прямоугольника расставьте числа 11, –12, 13, –14, 15, –16, 17, –18, 19 так, чтобы их произведения были больше 0 по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям.

6.8

Чтобы произведение чисел было положительным, оно должно содержать четное количество отрицательных множителей. В данной задаче требуется расставить числа в прямоугольнике $3 \times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях было больше нуля ($> 0$).

Нам дан набор из 9 чисел: 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19. Среди них 5 положительных (11, 13, 15, 17, 19) и 4 отрицательных (-12, -14, -16, -18).

Поскольку каждая линия (строка, столбец или диагональ) содержит 3 числа, для положительного произведения в ней должно быть либо 0, либо 2 отрицательных числа. Давайте проанализируем, как можно расставить 4 отрицательных числа в таблице, соблюдая это правило.

Пусть количество отрицательных чисел в трех строках равно $r_1, r_2, r_3$. Каждое из этих чисел может быть только 0 или 2. Их сумма должна быть равна общему числу отрицательных чисел, то есть 4: $r_1 + r_2 + r_3 = 4$. Единственная комбинация, удовлетворяющая этому условию, — это (0, 2, 2). Следовательно, одна строка должна состоять только из положительных чисел, а две другие — содержать по два отрицательных числа. Аналогичные рассуждения верны и для столбцов.

Таким образом, в таблице должна быть одна строка и один столбец, полностью состоящие из положительных чисел. Пересечение этой строки и столбца также содержит положительное число. Эта структура образует "крест" из 5 положительных чисел. Оставшиеся 4 клетки (в углах этого "креста") должны быть заняты 4 отрицательными числами. Пример такой схемы расположения знаков:

Эта схема удовлетворяет всем условиям задачи: в каждой строке, столбце и диагонали находится четное количество отрицательных чисел (0 или 2). Остается лишь подставить числа в соответствии с их знаками. Конкретные значения чисел не влияют на знак произведения, поэтому любая расстановка положительных чисел на местах '+' и отрицательных на местах '-' будет верной.

Ответ: