Номер 6.6, страница 99, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.6. Начертите четырёхугольник MNPK, у которого:
а) MN ⟂ NP;
б) MN ⟂ МК и NP ⟂MN;
в) MN ⟂ NP, MN ⟂ МК и РК ⟂ NP.

6.6

а) $MN \perp NP$

б) $MN \perp MK, NP \perp MN$

в) $MN \perp NP, MN \perp MK, PK \perp NP$

Для решения задачи рассмотрим каждый случай отдельно и опишем, как построить требуемый четырёхугольник MNPK.

а)

По условию, в четырёхугольнике MNPK сторона $MN$ перпендикулярна стороне $NP$. Математически это записывается как $MN \perp NP$.

Это означает, что угол между сторонами MN и NP является прямым, то есть $\angle MNP = 90^\circ$. Остальные углы и стороны могут быть произвольными, при условии, что фигура остаётся четырёхугольником (не самопересекающимся).

Построение:

1. Начертим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке N.
2. На одной прямой отложим отрезок MN, а на другой — отрезок NP. Длины отрезков могут быть любыми.
3. Выберем любую точку K, не лежащую на этих прямых, так, чтобы она вместе с точками M, N и P образовывала выпуклый или невыпуклый четырёхугольник.
4. Последовательно соединим отрезками точки M и K, а также P и K.

В результате мы получим четырёхугольник MNPK, у которого угол при вершине N — прямой. Существует бесконечное множество таких четырёхугольников.

Ответ: Четырёхугольник MNPK, у которого угол $\angle MNP = 90^\circ$.

б)

По условию, в четырёхугольнике MNPK даны два перпендикуляра: $MN \perp MK$ и $NP \perp MN$.

Рассмотрим эти условия:

• $MN \perp MK$ означает, что угол между сторонами MN и MK прямой, то есть $\angle KMN = 90^\circ$.
• $NP \perp MN$ означает, что угол между сторонами NP и MN прямой, то есть $\angle MNP = 90^\circ$. Условие $NP \perp MN$ эквивалентно $MN \perp NP$.

Мы имеем две прямые (содержащие отрезки MK и NP), которые перпендикулярны одной и той же третьей прямой (содержащей отрезок MN). Согласно свойству перпендикулярных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, $MK \parallel NP$.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет, называется трапецией. Так как у этой трапеции есть прямые углы при боковой стороне MN, она является прямоугольной трапецией.

Построение:

1. Начертим отрезок MN.
2. Из точки M проведём луч, перпендикулярный MN, и отложим на нём отрезок MK.
3. Из точки N проведём луч, перпендикулярный MN (в ту же полуплоскость относительно прямой MN, что и луч из точки M), и отложим на нём отрезок NP.
4. Соединим точки K и P отрезком.

Полученная фигура MNPK является прямоугольной трапецией с основаниями MK и NP и прямыми углами при вершинах M и N.

Ответ: Четырёхугольник MNPK является прямоугольной трапецией, у которой $MK \parallel NP$, а $\angle KMN = \angle MNP = 90^\circ$.

в)

По условию, в четырёхугольнике MNPK даны три перпендикуляра: $MN \perp NP$, $MN \perp MK$ и $PK \perp NP$.

Рассмотрим эти условия в виде углов:

• $MN \perp NP \implies \angle MNP = 90^\circ$.
• $MN \perp MK \implies \angle KMN = 90^\circ$.
• $PK \perp NP \implies \angle NPK = 90^\circ$.

Мы имеем четырёхугольник, у которого три угла являются прямыми. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Найдём четвёртый угол $\angle PKM$:

$\angle PKM = 360^\circ - (\angle KMN + \angle MNP + \angle NPK) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$.

Так как все четыре угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник — прямоугольник.

Это же можно доказать и через параллельность сторон:

• Из $MN \perp MK$ и $MN \perp NP$ следует, что $MK \parallel NP$.
• Из $MN \perp NP$ и $PK \perp NP$ следует, что $MN \parallel PK$.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Построение:

1. Начертим отрезок MN.
2. Из точки N проведём луч, перпендикулярный MN, и отложим на нём отрезок NP.
3. Из точки M проведём луч, перпендикулярный MN (в ту же полуплоскость).
4. Из точки P проведём луч, перпендикулярный NP (в ту же полуплоскость).
5. Точка пересечения лучей, проведённых из точек M и P, будет вершиной K.

Полученная фигура MNPK будет прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник MNPK является прямоугольником.