Номер 4, страница 131 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

4. На какой высоте над поверхностью воды в бассейне глубиной $h = 3,9 \, \text{м}$ нужно повесить лампочку, чтобы свет от нее шел в воздухе и воде одинаковое время?

Дано:

Глубина бассейна $h = 3,9$ м

Показатель преломления воды $n_{воды} \approx 4/3$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$

Условие равенства времени прохождения света в воздухе ($t_{воздуха}$) и в воде ($t_{воды}$): $t_{воздуха} = t_{воды}$

Найти:

Высоту $H$, на которой нужно повесить лампочку.

Решение:

Формулировка задачи не уточняет, для какого именно луча света должно выполняться условие равенства времени. Наиболее простое и логичное предположение в такой ситуации — рассмотреть луч, распространяющийся по вертикали от лампочки до дна бассейна. Для такого луча угол падения на границу раздела сред "воздух-вода" равен нулю, и он не испытывает преломления, продолжая движение по прямой.

Пусть лампочка находится на высоте $H$ над поверхностью воды. Время $t_{воздуха}$, за которое свет проходит это расстояние в воздухе, определяется формулой:

$t_{воздуха} = \frac{H}{v_{воздуха}}$

где $v_{воздуха}$ — скорость света в воздухе.

Время $t_{воды}$, за которое свет проходит от поверхности воды до дна (расстояние, равное глубине бассейна $h$), равно:

$t_{воды} = \frac{h}{v_{воды}}$

где $v_{воды}$ — скорость света в воде.

Скорость света в среде ($v$) связана с абсолютным показателем преломления среды ($n$) и скоростью света в вакууме ($c$) следующим соотношением:

$v = \frac{c}{n}$

Следовательно, скорости света в воздухе и воде можно выразить как:

$v_{воздуха} = \frac{c}{n_{воздуха}}$

$v_{воды} = \frac{c}{n_{воды}}$

Подставим эти выражения в формулы для времени:

$t_{воздуха} = \frac{H \cdot n_{воздуха}}{c}$

$t_{воды} = \frac{h \cdot n_{воды}}{c}$

Согласно условию задачи, эти времена равны:

$t_{воздуха} = t_{воды}$

$\frac{H \cdot n_{воздуха}}{c} = \frac{h \cdot n_{воды}}{c}$

Умножив обе части уравнения на $c$, получим:

$H \cdot n_{воздуха} = h \cdot n_{воды}$

Это равенство означает, что оптические длины путей в воздухе и воде для рассматриваемого луча должны быть одинаковы.

Из этого соотношения выразим искомую высоту $H$:

$H = h \cdot \frac{n_{воды}}{n_{воздуха}}$

Примем стандартные значения для показателей преломления: для воздуха $n_{воздуха} \approx 1$ и для воды $n_{воды} \approx 4/3$. Подставим числовые значения в формулу:

$H = 3,9 \text{ м} \cdot \frac{4/3}{1} = 3,9 \cdot \frac{4}{3} = 1,3 \cdot 4 = 5,2 \text{ м}$

Ответ: лампочку нужно повесить на высоте 5,2 м над поверхностью воды.