Номер 592, страница 103 - гдз по химии 8 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

592. Радиус алюминиевого шарика равен 3,0 мм. Пусть каждый атом алюминия отдал в общее пользование по одному валентному электрону. Рассчитайте, из какого числа свободных электронов состоит «электронный газ» в этом шарике (плотность алюминия равна 2,70 $\text{г}/\text{см}^3$).

Дано:

Радиус алюминиевого шарика, $R = 3,0 \text{ мм}$

Плотность алюминия, $\rho = 2,70 \text{ г/см}^3$

Число свободных электронов на один атом, $k = 1$

Молярная масса алюминия (Al), $M \approx 27,0 \text{ г/моль}$

Число Авогадро, $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$R = 3,0 \text{ мм} = 3,0 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\rho = 2,70 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,70 \times \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2,70 \times 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$M = 27,0 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 27,0 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

Число свободных электронов в «электронном газе», $N_e$

Решение:

По условию задачи, каждый атом алюминия отдает один валентный электрон в общее пользование. Следовательно, число свободных электронов $N_e$ равно общему числу атомов алюминия $N_{at}$ в шарике.

$N_e = N_{at}$

Чтобы найти общее число атомов в шарике, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить объем шарика $V$ по формуле объема сферы:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Найти массу шарика $m$ через его объем и плотность алюминия $\rho$:

$m = \rho \cdot V$

3. Определить количество вещества $\nu$ (в молях), разделив массу шарика на молярную массу алюминия $M$:

$\nu = \frac{m}{M}$

4. Рассчитать общее число атомов $N_{at}$, умножив количество вещества на число Авогадро $N_A$:

$N_{at} = \nu \cdot N_A$

Объединим эти формулы в одно выражение для $N_e$:

$N_e = N_{at} = \nu \cdot N_A = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot N_A = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{M} \cdot N_A$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя систему СИ:

$N_e = \frac{2,70 \times 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3} \pi (3,0 \times 10^{-3} \text{ м})^3}{27,0 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \cdot 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Проведем вычисления:

$N_e = \frac{2,70 \times 10^3 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 27,0 \times 10^{-9}}{27,0 \times 10^{-3}} \cdot 6,02 \times 10^{23}$

Сократим $27,0$ в числителе и знаменателе и упростим степени десяти:

$N_e = 2,70 \times 10^3 \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 10^{-9} \cdot 10^3 \cdot 6,02 \times 10^{23}$

$N_e = 3,60 \pi \cdot 10^{3-9+3} \cdot 6,02 \times 10^{23}$

$N_e = 3,60 \pi \cdot 10^{-3} \cdot 6,02 \times 10^{23}$

Подставляя значение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$N_e \approx 3,60 \cdot 3,14 \cdot 6,02 \times 10^{20} \approx 11,3 \cdot 6,02 \times 10^{20} \approx 68,0 \times 10^{20}$

Запишем результат в стандартном виде и округлим его до двух значащих цифр, так как наименее точное данное в условии (радиус) имеет две значащие цифры:

$N_e \approx 6,8 \times 10^{21}$

Ответ: в электронном газе содержится примерно $6,8 \times 10^{21}$ свободных электронов.