задания и проекты, страница 67, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Муравьева, Урбан

Задания и проекты

1. Возьмите полоску бумаги и склейте её так, как показано на рисунке. Предположите, что получится, если склеенную полоску разрезать ножницами так, как показано на рисунке. Проверьте своё предположение.

2. Возьмите полоску бумаги и перед склеиванием перекрутите её один раз так, как показано на рисунке. Затем склейте полоску.

Вы получили ленту Мёбиуса.

Предположите, что получится, если склеенную полоску разрезать ножницами так, как показано на рисунке. Проверьте своё предположение.

3. Возьмите полоску бумаги и перед склеиванием перекрутите её два раза так, как показано на рисунке. Затем склейте полоску. Предположите, что получится, если склеенную полоску разрезать ножницами так, как показано на рисунке. Проверьте своё предположение.

4. Узнайте, какие ещё опыты можно провести с лентой Мёбиуса. Покажите ваши опыты друзьям в классе.

1.

Если взять обычную полоску бумаги, склеить её концы без перекручивания, получится объект, похожий на цилиндр или кольцо. У этого кольца есть две стороны (внутренняя и внешняя) и два края (верхний и нижний).

Предположение: Логично предположить, что если разрезать такое кольцо посередине вдоль всей длины, то оно распадётся на две отдельные, более узкие части.

Проверка: Если провести эксперимент, предположение подтвердится. Разрезая кольцо вдоль центральной линии, мы просто разделяем его на две половины. В результате получаются два одинаковых кольца, которые не сцеплены друг с другом. Каждое новое кольцо будет такой же длины, как и исходное, но в два раза уже.

Ответ: Получится два отдельных, одинаковых кольца, каждое из которых в два раза уже исходного.

2.

Когда мы берём полоску бумаги, перекручиваем один её конец на 180 градусов ($π$ радиан) и склеиваем с другим концом, мы получаем удивительный объект под названием лента Мёбиуса. Главное свойство ленты Мёбиуса в том, что у неё всего одна сторона и один край. Если вы начнёте вести карандашом линию по центру ленты, вы вернётесь в исходную точку, закрасив всю поверхность, не переходя через край.

Предположение: Интуитивно может показаться, что, как и в первом случае, разрезание ленты пополам приведёт к появлению двух отдельных лент.

Проверка: На самом деле результат совершенно другой. Поскольку у ленты Мёбиуса всего одна сторона, разрез, идущий по её центру, не разделяет её. Вместо этого он проходит по всей "двойной" длине ленты и возвращается в начало. В итоге получается не две ленты, а одна длинная лента, которая в два раза длиннее и в два раза уже исходной. Эта новая лента уже не является лентой Мёбиуса — у неё две стороны и два края, и она перекручена дважды (на 360 градусов).

Ответ: Получится одна длинная, дважды перекрученная лента, которая в два раза длиннее и уже исходной.

3.

Если перед склеиванием перекрутить полоску бумаги два раза (на 360 градусов или $2π$ радиан), то получится лента, которая, в отличие от ленты Мёбиуса, имеет две стороны и два края, как и обычное кольцо, но они перекручены.

Предположение: Так как у этой ленты две стороны, можно предположить, что разрез посередине разделит её на две части. Но из-за перекрученности они могут оказаться сцепленными.

Проверка: Это предположение верно. При разрезании такой ленты вдоль центральной линии получаются два отдельных кольца. Однако из-за полного оборота в 360 градусов, который был сделан изначально, эти два кольца оказываются сцепленными друг с другом, как звенья в цепи. Каждое из получившихся колец будет иметь ту же длину, что и исходная лента, но будет вдвое уже.

Ответ: Получится два одинаковых кольца, сцепленных друг с другом.

4.

С лентой Мёбиуса можно провести множество других увлекательных экспериментов. Вот несколько идей:

• Разрезание не по центру. Вместо того чтобы резать ленту Мёбиуса ровно посередине (на расстоянии 1/2 от края), попробуйте разрезать её на расстоянии одной трети от края. Результат будет ещё более неожиданным: вы получите две сцепленные ленты, но они будут разными! Одна будет такой же длины, как исходная лента Мёбиуса (и сама будет лентой Мёбиуса), а вторая будет в два раза длиннее и будет иметь два полных перекручивания.
• Разрезание ленты с большим количеством перекручиваний. Можно изучить, что получится, если разрезать ленту, перекрученную три, четыре, пять и более раз. Существует закономерность:
  • Если число полуоборотов ($n$) нечётное (1, 3, 5,...), то при разрезании посередине получится одна длинная лента с $2n+2$ полуоборотами.
  • Если число полуоборотов ($n$) чётное (2, 4, 6,...), то при разрезании посередине получатся два сцепленных кольца, каждое с $n$ полуоборотами.
• Эффект "Лестница Иакова". Склейте две полоски бумаги друг с другом, а затем сделайте из них ленту Мёбиуса. После этого попробуйте расслоить их. Вы обнаружите, что они не разделяются, а образуют одну длинную ленту, вдвое длиннее исходной.

Эти эксперименты наглядно демонстрируют удивительные свойства топологии — раздела математики, изучающего свойства фигур, которые не меняются при их деформации.

Ответ: Можно провести опыты с разрезанием ленты Мёбиуса не по центру (на 1/3 от края), а также исследовать, что получится при разрезании лент, скрученных три, четыре и более раз, чтобы выявить общие закономерности.