Номер 1.117, страница 30, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.117. Внутри прямого угла АВС проведён луч BD. Чему равны углы ABD и DBC, если:

а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC;

б) угол DBC больше угла ABD на 32º;

в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

1.117

а) Пусть х – $\angle$ ABD, тогда 4х – $\angle$ DBC. Зная, что прямой угол равен 90°, 

составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 4х = 90; \\ 5х = 90; \\ х = 90 : 5; \\ х = 18° - \angle ABD \end{gathered}$$

$1) 18° · 4 = 72° - \angle DBC.$

Ответ: 18° и 72°.

б) Пусть х – $\angle$ ABD, тогда  х + 32° – $\angle$ DBC. Зная, что прямой угол равен 90°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + х + 32 = 90; \\ 2х = 90 – 32; \\ 2х = 58; \\ х = 58 : 2; \\ х = 29° - \angle ABD \end{gathered}$$

$1) 29° + 32° = 61° - \angle DBC.$

Ответ: 29° и 61°.

в) Пусть х – $\angle$ DBC, тогда  8х – $\angle$ ABD. Зная, что прямой угол равен 90°, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 8х = 90; \\ 9х = 90; \\ х = 90 : 9; \\ х = 10° - \angle DBC \end{gathered}$$

$1) 10° · 8 = 80° - \angle ABD$

Ответ: 10° и 80°.

По условию задачи, угол ABC является прямым, что означает, что его величина составляет $90^\circ$. Луч BD, проведенный внутри этого угла, делит его на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Сумма этих двух углов равна величине исходного угла ABC:

$\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC = 90^\circ$

Исходя из этого основного соотношения, решим задачу для каждого из предложенных условий.

а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC;

Это условие можно записать как $\angle DBC = 4 \cdot \angle ABD$.

Обозначим величину угла $\angle ABD$ через $x$. Тогда величина угла $\angle DBC$ будет равна $4x$.

Подставим эти выражения в наше основное уравнение:

$x + 4x = 90^\circ$

$5x = 90^\circ$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$

Следовательно, $\angle ABD = 18^\circ$.

Тогда $\angle DBC = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$.

Проверим: $18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 18^\circ$, $\angle DBC = 72^\circ$.

б) угол DBC больше угла ABD на 32°;

Это условие можно записать как $\angle DBC = \angle ABD + 32^\circ$.

Обозначим величину угла $\angle ABD$ через $y$. Тогда величина угла $\angle DBC$ будет равна $y + 32^\circ$.

Подставим эти выражения в основное уравнение:

$y + (y + 32^\circ) = 90^\circ$

$2y + 32^\circ = 90^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$2y = 90^\circ - 32^\circ$

$2y = 58^\circ$

$y = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ$

Следовательно, $\angle ABD = 29^\circ$.

Тогда $\angle DBC = 29^\circ + 32^\circ = 61^\circ$.

Проверим: $29^\circ + 61^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 29^\circ$, $\angle DBC = 61^\circ$.

в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?

Это условие можно записать как $\angle ABD = 8 \cdot \angle DBC$.

Обозначим величину угла $\angle DBC$ через $z$. Тогда величина угла $\angle ABD$ будет равна $8z$.

Подставим эти выражения в основное уравнение:

$8z + z = 90^\circ$

$9z = 90^\circ$

Теперь найдем $z$:

$z = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Следовательно, $\angle DBC = 10^\circ$.

Тогда $\angle ABD = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ$.

Проверим: $80^\circ + 10^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle ABD = 80^\circ$, $\angle DBC = 10^\circ$.