Номер 2.118, страница 58, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.118. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?

б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n - 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165.

в) Не все пары чисел вида 6k - 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k - 1 и 6k + 1, которые не являются числами- близнецами.

2.118

а) 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61; 71 и 73; 101 и 103; 107 и 109; 137 и 139; 149 и 151; 179 и 181; 191 и 193; 197 и 199; 227 и 229; 239 и 241; 269 и 271; 281 и 283; 311 и 313; 347 и 349; 419 и 421; 431 и 433; 461 и 463 – всего 24 пары чисел-близнецов

$\mathit{б}\mathbf{)} n = 87$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 87 – 1 = 521 \\ 6n + 1 = 6 · 87 + 1 = 523 \end{gathered}$$

$n = 135$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 135 – 1 = 809 \\ 6n + 1 = 6 · 135 + 1 = 811 \end{gathered}$$

$n = 165$

$$\begin{gathered} 6n – 1 = 6 · 165 – 1 = 989 \\ 6n + 1 = 6 · 165 + 1 = 991 \end{gathered}$$

в) числа 6n – 1 и 6n + 1 не являются числами-близнецами при

$n = 4$

$6n – 1 = 6 · 4 – 1 = 23$

$6n + 1 = 6 · 4 + 1 = 25$– не является простым числом

$n = 6$

$6n – 1 = 6 · 6 – 1 = 35$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 6 + 1 = 37$

$n = 8$

$6n – 1 = 6 · 8 – 1 = 47$

$6n + 1 = 6 · 8 + 1 = 49$– не является простым числом

$n = 9$

$6n – 1 = 6 · 9 – 1 = 53$

$6n + 1 = 6 · 9 + 1 = 55$– не является простым числом

$n = 11$

$6n – 1 = 6 · 11 – 1 = 65$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 11 + 1 = 67$

$n = 13$

$6n – 1 = 6 · 13 – 1 = 77$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 13 + 1 = 79$

$n = 14$

$6n – 1 = 6 · 14 – 1 = 83$

$6n + 1 = 6 · 14 + 1 = 85$– не является простым числом

$n = 15$

$6n – 1 = 6 · 15 – 1 = 89$

$6n + 1 = 6 · 15 + 1 = 91$– не является простым числом

$n = 16$

$6n – 1 = 6 · 16 – 1 = 95$– не является простым числом

$6n + 1 = 6 · 16 + 1 = 97$

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Чтобы найти такие пары среди первых 500 натуральных чисел, нужно выписать все простые числа до 500 и найти среди них те, что отличаются на 2.

Простые числа до 500: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103, 107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433, 461, 463 и другие.

Пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Подсчитав количество пар, получаем 24.

Ответ: Найдено 24 пары чисел-близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

б) Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), можно представить в виде ($6n - 1, 6n + 1$), где $n$ — натуральное число. Найдем пары чисел для заданных значений $n$ и проверим, являются ли они числами-близнецами.

1. При $n = 87$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 87 - 1 = 522 - 1 = 521$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 87 + 1 = 522 + 1 = 523$.
Получили пару (521, 523). Оба числа, 521 и 523, являются простыми. Следовательно, это пара чисел-близнецов.

2. При $n = 135$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 135 - 1 = 810 - 1 = 809$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 135 + 1 = 810 + 1 = 811$.
Получили пару (809, 811). Оба числа, 809 и 811, являются простыми. Следовательно, это пара чисел-близнецов.

3. При $n = 165$:
Первое число: $6n - 1 = 6 \cdot 165 - 1 = 990 - 1 = 989$.
Второе число: $6n + 1 = 6 \cdot 165 + 1 = 990 + 1 = 991$.
Получили пару (989, 991). Проверим числа на простоту. Число 991 является простым. Число 989 является составным, так как $989 = 23 \cdot 43$. Следовательно, эта пара не является парой чисел-близнецов.

Ответ: Для $n=87$ пара (521, 523); для $n=135$ пара (809, 811); для $n=165$ пара (989, 991).

в) Нам нужно найти все пары двузначных чисел вида ($6k - 1, 6k + 1$), которые не являются числами-близнецами. Это означает, что хотя бы одно из чисел в паре является составным.

Сначала определим диапазон для $k$. Числа должны быть двузначными, то есть от 10 до 99.
$6k - 1 \ge 10 \implies 6k \ge 11 \implies k \ge 11/6 \approx 1.83$. Минимальное целое $k=2$.
$6k + 1 \le 99 \implies 6k \le 98 \implies k \le 98/6 \approx 16.33$. Максимальное целое $k=16$.
Итак, будем проверять $k$ от 2 до 16.

Проверяем все значения $k$ от 2 до 16:
- $k=2$: (11, 13) - оба простые (близнецы).
- $k=3$: (17, 19) - оба простые (близнецы).
- $k=4$: (23, 25) - 25 составное ($25 = 5 \cdot 5$). Пара не является близнецами.
- $k=5$: (29, 31) - оба простые (близнецы).
- $k=6$: (35, 37) - 35 составное ($35 = 5 \cdot 7$). Пара не является близнецами.
- $k=7$: (41, 43) - оба простые (близнецы).
- $k=8$: (47, 49) - 49 составное ($49 = 7 \cdot 7$). Пара не является близнецами.
- $k=9$: (53, 55) - 55 составное ($55 = 5 \cdot 11$). Пара не является близнецами.
- $k=10$: (59, 61) - оба простые (близнецы).
- $k=11$: (65, 67) - 65 составное ($65 = 5 \cdot 13$). Пара не является близнецами.
- $k=12$: (71, 73) - оба простые (близнецы).
- $k=13$: (77, 79) - 77 составное ($77 = 7 \cdot 11$). Пара не является близнецами.
- $k=14$: (83, 85) - 85 составное ($85 = 5 \cdot 17$). Пара не является близнецами.
- $k=15$: (89, 91) - 91 составное ($91 = 7 \cdot 13$). Пара не является близнецами.
- $k=16$: (95, 97) - 95 составное ($95 = 5 \cdot 19$). Пара не является близнецами.

Ответ: Пары двузначных чисел вида $6k-1$ и $6k+1$, не являющиеся числами-близнецами: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).