Номер 2.119, страница 58, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.119. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 22 и 55; б) 40 и 50; в) 270 и 450; г) 40, 60 и 15.

2.119

а)

$$\begin{gathered} 22 = 2 · 11 \\ 55 = 5 · 11 \\ \mathrm{НОК} (22; 55) = 2 · 11 · 5 = 110 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \\ 50 = 2 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОК} (40; 50) =2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 200 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 \\ 450 = 2 · 3 · 3 · 5 ·5 \\ \mathrm{НОК} (270; 450) = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 = 1350 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 40 = 2 · 2 · 2 · 5 \\ 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ 15 = 3 · 5 \\ \mathrm{НОК} (40; 60; 15) =2 · 2 · 2 · 5 · 3 = 120 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 22 и 55, разложим их на простые множители.

Разложение числа 22: $22 = 2 \cdot 11$.

Разложение числа 55: $55 = 5 \cdot 11$.

Для нахождения НОК необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В данном случае это множители $2$, $5$ и $11$ в первой степени.

НОК(22, 55) = $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$.

Ответ: 110

б) Чтобы найти НОК для чисел 40 и 50, разложим их на простые множители.

Разложение числа 40: $40 = 4 \cdot 10 = 2^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Разложение числа 50: $50 = 5 \cdot 10 = 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$.

Выбираем простые множители в наивысших степенях из обоих разложений: $2^3$ и $5^2$.

НОК(40, 50) = $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$.

Ответ: 200

в) Чтобы найти НОК для чисел 270 и 450, разложим их на простые множители.

Разложение числа 270: $270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

Разложение числа 450: $450 = 45 \cdot 10 = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Выбираем простые множители в наивысших степенях: $2^1$, $3^3$ и $5^2$.

НОК(270, 450) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 27 \cdot 25 = 54 \cdot 25 = 1350$.

Ответ: 1350

г) Чтобы найти НОК для чисел 40, 60 и 15, разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 40: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$.

Разложение числа 60: $60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.

Выбираем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^3$, $3^1$ и $5^1$.

НОК(40, 60, 15) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120