Номер 2.130, страница 62, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.130. а) Каким должен быть знаменатель обыкновенной дроби, чтобы её можно было представить в виде десятичной?

б) Какие дроби можно представить в виде десятичной дроби:

35, 1225, 13, 712, 1115, 624?

2.130

а) Знаменатель должен быть кратным 10.

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{3}{5}= \frac{6}{10}$- можно

$\frac{12}{25}= \frac{48}{100}$- можно

$\frac{1}{3}$- нельзя

$\frac{7}{12}$- нельзя

$\frac{11}{15}$- нельзя

$\frac{6}{24}=\frac{6 : 6}{24 : 6}=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}$- можно.

а)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель, после сокращения дроби до несократимого вида, не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Это правило вытекает из определения десятичной дроби. Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Разложение числа 10 на простые множители — это $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет иметь в своём разложении на простые множители только 2 и 5 (например, $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$).

Таким образом, чтобы обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ можно было привести к знаменателю, равному степени 10, необходимо, чтобы знаменатель $n$ исходной несократимой дроби имел вид $n = 2^a \cdot 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа.

Ответ: Знаменатель несократимой обыкновенной дроби должен раскладываться на простые множители, содержащие только числа 2 и 5.

б)

Применим правило из пункта а) к каждой из предложенных дробей. Для этого сначала сократим дробь, если это возможно, а затем разложим её знаменатель на простые множители.

• $\frac{3}{5}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 5. Его единственный простой множитель — это 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6$.
• $\frac{12}{25}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 25, а его разложение на простые множители $25 = 5^2$. В разложении присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{12}{25} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{48}{100} = 0,48$.
• $\frac{1}{3}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 3. В разложении его знаменателя присутствует простой множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{1}{3} = 0,333... = 0,(3)$.
• $\frac{7}{12}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 12, а его разложение на простые множители $12 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{7}{12} = 0,58333... = 0,58(3)$.
• $\frac{11}{15}$: дробь несократимая. Знаменатель равен 15, а его разложение на простые множители $15 = 3 \cdot 5$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической: $\frac{11}{15} = 0,7333... = 0,7(3)$.
• $\frac{6}{24}$: дробь сократимая. Сначала сократим её: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 4, а его разложение на простые множители $4 = 2^2$. В разложении присутствует только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$.

Ответ: В виде конечной десятичной дроби можно представить дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{12}{25}$ и $\frac{6}{24}$.