Номер 2.240, страница 76, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.240. Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.

2.240

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$– переместительное свойство

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+ b}{c}=\frac{b + a}{c}=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}$

$\frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}$– сочетательное свойство

$$\begin{gathered} \frac{a}{c}+\left(\frac{b}{c}+\frac{d}{c}\right)=\frac{a}{c}+\frac{b +d}{c}= \\ =\frac{a +b+d}{c}=\frac{a +b}{c}+\frac{d}{c}=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\frac{d}{c}. \end{gathered}$$

Переместительное свойство

Требуется доказать переместительное (коммутативное) свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями. Это свойство утверждает, что для любых дробей $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$ (где $a, b, c$ — натуральные числа) выполняется равенство:
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

Доказательство:

1. Начнем с левой части равенства и применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений):
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

2. В числителе полученной дроби находится сумма натуральных чисел $a$ и $b$. Для сложения натуральных чисел действует переместительное свойство: $a + b = b + a$.

3. Используем это свойство для преобразования числителя:
$\frac{a+b}{c} = \frac{b+a}{c}$

4. Теперь представим дробь $\frac{b+a}{c}$ в виде суммы дробей, применив правило сложения в обратном порядке:
$\frac{b+a}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$

5. Объединив шаги, мы получаем цепочку равенств: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} = \frac{b+a}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$.
Таким образом, мы доказали, что левая часть исходного равенства равна правой.

Ответ: Переместительное свойство $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{b}{c} + \frac{a}{c}$ для дробей с одинаковыми знаменателями доказано.

Сочетательное свойство

Требуется доказать сочетательное (ассоциативное) свойство сложения для дробей с одинаковыми знаменателями. Это свойство утверждает, что для любых дробей $\frac{a}{c}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{d}{c}$ (где $a, b, d, c$ — натуральные числа) выполняется равенство:
$(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$

Доказательство:

1. Преобразуем левую часть равенства. Сначала выполним сложение в скобках:
$(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a+b}{c} + \frac{d}{c}$

2. Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{a+b}{c} + \frac{d}{c} = \frac{(a+b)+d}{c}$

3. В числителе дроби находится сумма натуральных чисел $a, b, d$. Для сложения натуральных чисел действует сочетательное свойство: $(a + b) + d = a + (b + d)$.

4. Применим это свойство к числителю:
$\frac{(a+b)+d}{c} = \frac{a+(b+d)}{c}$

5. Теперь выполним преобразования в обратном порядке, чтобы получить правую часть исходного равенства. "Разделим" числитель на два слагаемых:
$\frac{a+(b+d)}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b+d}{c}$

6. И еще раз проделаем то же самое для второй дроби:
$\frac{a}{c} + \frac{b+d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$

7. Таким образом, мы получили цепочку равенств: $(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{(a+b)+d}{c} = \frac{a+(b+d)}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$.
Это доказывает, что левая часть исходного равенства равна правой.

Ответ: Сочетательное свойство $(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a}{c} + (\frac{b}{c} + \frac{d}{c})$ для дробей с одинаковыми знаменателями доказано.