Номер 2.4, страница 45, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.4. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?

2.4

Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, т.к. это произведение будет иметь более двух делителей: 1 и каждое из двух данных простых чисел

Пример: $2 · 3 = 6$, 2 и 3 – простые числа, 6 – составное.

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определению простого числа. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, большие 1, называются составными.

Пусть у нас есть два простых числа, назовем их $p_1$ и $p_2$. По определению, оба этих числа больше 1, то есть $p_1 > 1$ и $p_2 > 1$.

Рассмотрим их произведение, которое обозначим как $P$: $$ P = p_1 \cdot p_2 $$

Теперь проанализируем делители числа $P$. Чтобы число $P$ было простым, оно должно делиться только на 1 и на само себя. Однако из самого равенства $P = p_1 \cdot p_2$ следует, что число $P$ делится нацело как на $p_1$, так и на $p_2$.

Давайте проверим, могут ли эти делители ($p_1$ и $p_2$) быть равны 1 или самому числу $P$.

1. Поскольку $p_1$ — простое число, оно по определению больше 1. Значит, $p_1 \ne 1$.
2. Поскольку $p_2$ — простое число, оно также больше 1. Это означает, что произведение $P = p_1 \cdot p_2$ будет строго больше, чем $p_1$. Следовательно, $p_1 \ne P$.

Таким образом, мы нашли у числа $P$ делитель $p_1$, который не является ни единицей, ни самим числом $P$. Этого уже достаточно, чтобы утверждать, что число $P$ не является простым. У него есть как минимум три делителя: $1$, $p_1$ и $P$. Аналогичные рассуждения верны и для $p_2$.

Следовательно, произведение двух простых чисел всегда является составным числом.

Пример:

Возьмем простые числа 3 и 5. Их произведение: $3 \cdot 5 = 15$. Число 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Так как у него больше двух делителей, оно является составным.

Возьмем простое число 7 и умножим его на себя: $7 \cdot 7 = 49$. Число 49 имеет делители 1, 7, 49. У него три делителя, значит, оно также является составным.

Ответ: нет, произведение двух простых чисел не может быть простым числом.