Номер 3.129, страница 145, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.129. Рассмотрите рисунок 3.29. Как проверить, что фигуры Р и R на рисунке симметричны относительно точки О.

3.129

Фигуры Р и R симметричны относительно точки О, т.к. каждая точка фигуры Р удалена на такое же расстояние от точки О, как и соответствующая точка фигуры R.

Чтобы проверить, симметричны ли фигуры P и R относительно точки O, необходимо убедиться, что преобразование центральной симметрии с центром в точке O переводит фигуру P в фигуру R. Это можно сделать двумя основными способами.

Способ 1: Геометрическая проверка по определению

По определению, две фигуры симметричны относительно центра O, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры относительно O. Две точки A и A' называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка AA'. Исходя из этого, алгоритм проверки следующий:

1. Выбрать на фигуре P несколько произвольных, но характерных точек (например, кончик клюва, глаз, крайние точки крыльев и хвоста). Обозначим одну из них как точку A.
2. С помощью линейки провести прямую, проходящую через точку A и предполагаемый центр симметрии O.
3. На этой прямой, по другую сторону от точки O, найти точку A' так, чтобы расстояние от O до A' было равно расстоянию от A до O. То есть, должно выполняться равенство $|AO| = |OA'|$.
4. Проверить, принадлежит ли полученная точка A' фигуре R.
5. Повторить эту процедуру для нескольких других ключевых точек фигуры P.

Если для всех выбранных точек фигуры P соответствующие им симметричные точки лежат на фигуре R, можно заключить, что фигуры P и R симметричны относительно точки O. На самом рисунке 3.29 уже показаны такие построения: соответствующие точки соединены отрезками, проходящими через O, а их равенство отмечено одинаковым количеством штрихов.

Способ 2: Практическая проверка с помощью поворота

Центральная симметрия относительно точки O является частным случаем поворота, а именно — поворотом на 180° вокруг этой точки. Этот метод проверки очень нагляден:

1. Взять лист прозрачной бумаги (кальки) и наложить его на рисунок.
2. Аккуратно обвести на кальке контур фигуры P, а также отметить точку O.
3. Зафиксировать кальку в точке O (например, острием циркуля или карандаша), чтобы она могла вращаться вокруг этой точки.
4. Повернуть кальку на 180° (сделать пол-оборота) вокруг точки O.
5. Сравнить повернутое изображение фигуры P на кальке с фигурой R на исходном рисунке.

Если после поворота обведенное на кальке изображение полностью совпало с фигурой R, то фигуры P и R симметричны относительно точки O.

Ответ: Чтобы проверить симметричность фигур P и R относительно точки O, нужно для произвольной точки A на фигуре P построить точку A', симметричную ей относительно O. Для этого нужно провести прямую AO и на ее продолжении за точку O отложить отрезок OA', равный отрезку AO. Если точка A' окажется на фигуре R, и это будет верно для любой точки фигуры P, то фигуры симметричны. Альтернативно, можно повернуть фигуру P на 180° вокруг точки O; в случае симметрии она должна полностью совпасть с фигурой R.