Номер 3.136, страница 146, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.136. Могут ли пересекаться:

а) два отрезка, симметричные относительно прямой;
б) два центрально–симметричных отрезка?

Ответы проиллюстрируйте рисунком.

3.136

а) два отрезка, симметричные относительно прямой, пересекаться могут

Отрезки АВ и РС симметричны относительно прямой и пересекаются.

б) два центрально – симметричных отрезка пересекаться могут, если центр симметрии находится на самом отрезке

Отрезки АВ и РК симметричны относительно точки О и пересекаются.

а) два отрезка, симметричные относительно прямой;

Да, два отрезка, симметричные относительно прямой (осевая симметрия), могут пересекаться.

Пусть у нас есть прямая $l$, которая является осью симметрии, и отрезок $AB$. Отрезок $A'B'$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $l$, строится следующим образом: для каждой точки отрезка $AB$ находится симметричная ей точка относительно прямой $l$. В частности, концы отрезка $A'$ и $B'$ симметричны концам $A$ и $B$.

Два таких отрезка, $AB$ и $A'B'$, будут пересекаться в том и только в том случае, если исходный отрезок $AB$ пересекает ось симметрии $l$.

Пусть отрезок $AB$ пересекает прямую $l$ в точке $M$. По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе. Следовательно, точка $M$, принадлежащая прямой $l$, симметрична самой себе ($M' = M$).
Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, ее симметричный образ (то есть сама точка $M$) должен лежать на симметричном отрезке $A'B'$. Таким образом, точка $M$ является общей точкой для обоих отрезков, то есть точкой их пересечения.

На рисунке ниже показан отрезок $AB$ (синий), пересекающий ось симметрии $l$ в точке $M$. Отрезок $A'B'$ (красный) симметричен отрезку $AB$ относительно прямой $l$. Оба отрезка пересекаются в точке $M$, которая лежит на оси симметрии.

Ответ: Да, могут.

б) два центрально-симметричных отрезка?

Да, два центрально-симметричных отрезка могут пересекаться.

Пусть у нас есть центр симметрии — точка $O$, и отрезок $AB$. Отрезок $A'B'$, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$, строится так, что точка $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Центральная симметрия эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг центра $O$.

Два таких отрезка, $AB$ и $A'B'$, будут пересекаться в том и только в том случае, если центр симметрии $O$ лежит на прямой, содержащей исходный отрезок $AB$. Если при этом точка $O$ также принадлежит самому отрезку $AB$, то она будет и точкой пересечения.

Если точка $O$ лежит на отрезке $AB$, то при повороте на $180^\circ$ вокруг $O$ отрезок $AB$ перейдет в отрезок $A'B'$, который также будет содержать точку $O$. Таким образом, точка $O$ будет общей для обоих отрезков и, следовательно, точкой их пересечения.

На рисунке ниже показан случай, когда центр симметрии $O$ является общим концом для двух отрезков: $AO$ (синий) и симметричного ему отрезка $A'O$ (красный). Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $O$, а точка $O$ симметрична самой себе. Отрезки $AO$ и $A'O$ пересекаются в точке $O$.

Ответ: Да, могут.