Номер 3.141, страница 146, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.141. Некоторое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя дроби 3141 · Найдите это число, если после сокращения получили дробь 45.

3.141

Пусть х – искомое число, тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{32 + х}{41 - х} = \frac{4}{5} \\ 5 · \left(32 + х\right) = 4 · \left(41 - х\right); \\ 155 + 5х = 164 – 4х; \\ \mathrm{прибавим} \mathrm{к} \mathrm{обеим} \mathrm{частям} 4х \\ 155 + 5х + 4х = 164 – 4х + 4х; \\ 155 + 9х = 164; \\ 9х = 164 – 155; \\ 9х = 9; \\ х = 1 : 1; \\ х = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

Пусть искомое число равно $x$. Согласно условию задачи, это число прибавили к числителю дроби $\frac{31}{41}$ и вычли из ее знаменателя. Новая дробь имеет вид $\frac{31 + x}{41 - x}$. После сокращения эта дробь стала равна $\frac{4}{5}$. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{31 + x}{41 - x} = \frac{4}{5}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (перекрестное умножение):
$5 \cdot (31 + x) = 4 \cdot (41 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5 \cdot 31 + 5 \cdot x = 4 \cdot 41 - 4 \cdot x$
$155 + 5x = 164 - 4x$

Теперь сгруппируем слагаемые: перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$5x + 4x = 164 - 155$

Упростим обе части уравнения, выполнив сложение и вычитание:
$9x = 9$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 9:
$x = \frac{9}{9}$
$x = 1$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=1$ в исходное преобразование дроби:
$\frac{31 + 1}{41 - 1} = \frac{32}{40}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 32 и 40 равен 8.
$\frac{32 \div 8}{40 \div 8} = \frac{4}{5}$
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, найденное число верное.

Ответ: 1