Номер 3.58, страница 129, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.58. Найдите неизвестный член пропорции:

а) 312 : 217 = 213 : t ; б) 313 : s = 423 : 116; в) у : 23 = 816 : 213; г) 517 : 67 = z : 1217.

3.58

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }3\frac{1}{3} : s = 4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}; \\ s = 3\frac{1}{3} · 1\frac{1}{6} : 4\frac{2}{3} = \frac{10}{\sout{3}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{7}}}}{6} · \frac{\sout{3}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{14}}}} = \\ = \frac{5}{1} · \frac{1}{6} · \frac{1}{1} = \frac{5}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{5}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }у : \frac{2}{3} = 8\frac{1}{6} : 2\frac{1}{3}; \\ у = \frac{2}{3} · 8\frac{1}{6}: 2\frac{1}{3}= \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{2}}}}{\sout{3}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{49}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\bcancel{6}}}} · \frac{\sout{3}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \\ = \frac{1}{1} · \frac{7}{3} · \frac{1}{1} = 2\frac{1}{3}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }5\frac{1}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{17}; \\ \frac{5{\displaystyle \frac{1}{7}}}{{\displaystyle \frac{6}{7}}} = \frac{z}{{\displaystyle \frac{12}{17}}}; \\ z = 5\frac{1}{7} · \frac{12}{17} : \frac{6}{7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\bcancel{36}}}}{\cancel{7}} · \frac{12}{17} · \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{6}}} } = \\ = \frac{6}{1} · \frac{12}{17} · \frac{1}{1} = \frac{72}{17} = 4\frac{4}{17}. \\ \mathrm{Ответ}: 4\frac{4}{17}. \end{gathered}$$

а) $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{7} = 2\frac{1}{3} : t$

Данное равенство является пропорцией. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае $t$ является неизвестным крайним членом.

$3\frac{1}{2} \cdot t = 2\frac{1}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим полученные дроби в уравнение:

$\frac{7}{2} \cdot t = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Вычислим произведение в правой части уравнения, сократив дробь:

$\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{15}{3} = 5$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{7}{2} \cdot t = 5$

Чтобы найти $t$, разделим 5 на $\frac{7}{2}$:

$t = 5 : \frac{7}{2} = 5 \cdot \frac{2}{7} = \frac{10}{7}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$t = 1\frac{3}{7}$

Ответ: $1\frac{3}{7}$

б) $3\frac{1}{3} : s = 4\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$

В этой пропорции неизвестным является средний член $s$. Используем основное свойство пропорции.

$s \cdot 4\frac{2}{3} = 3\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

Подставим дроби в уравнение:

$s \cdot \frac{14}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6}$

Вычислим правую часть:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$

Уравнение принимает вид:

$s \cdot \frac{14}{3} = \frac{35}{9}$

Чтобы найти $s$, разделим $\frac{35}{9}$ на $\frac{14}{3}$:

$s = \frac{35}{9} : \frac{14}{3} = \frac{35}{9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{35 \cdot 3}{9 \cdot 14}$

Сократим множители: 35 и 14 на 7, а 3 и 9 на 3.

$s = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

в) $y : \frac{2}{3} = 8\frac{1}{6} : 2\frac{1}{3}$

Здесь неизвестным является крайний член пропорции $y$.

$y \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 8\frac{1}{6}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$8\frac{1}{6} = \frac{49}{6}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим дроби в уравнение:

$y \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6}$

Вычислим правую часть, сократив 2 и 6 на 2:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{49}{6} = \frac{1 \cdot 49}{3 \cdot 3} = \frac{49}{9}$

Уравнение принимает вид:

$y \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{9}$

Найдем $y$:

$y = \frac{49}{9} : \frac{7}{3} = \frac{49}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{49 \cdot 3}{9 \cdot 7}$

Сократим множители: 49 и 7 на 7, а 9 и 3 на 3.

$y = \frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{7}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$y = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$

г) $5\frac{1}{7} : \frac{6}{7} = z : \frac{12}{17}$

Неизвестным является средний член пропорции $z$.

$z \cdot \frac{6}{7} = 5\frac{1}{7} \cdot \frac{12}{17}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{1}{7} = \frac{36}{7}$

Подставим дробь в уравнение:

$z \cdot \frac{6}{7} = \frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17}$

Чтобы найти $z$, разделим правую часть на $\frac{6}{7}$:

$z = \left(\frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17}\right) : \frac{6}{7} = \frac{36}{7} \cdot \frac{12}{17} \cdot \frac{7}{6}$

Сократим дроби: 7 и 7 на 7, а 36 и 6 на 6.

$z = \frac{6 \cdot 12}{17} = \frac{72}{17}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$z = 4\frac{4}{17}$

Ответ: $4\frac{4}{17}$