Номер 4.119, страница 27, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.119. Найдите множество всех цифр, которые можно написать вместо знака вопроса, чтобы получилось неверное неравенство:

а) –1524 < –152?; б) –8?32 > –8432; в) –?7,32 < –87,32; г) –888,? < –888,6; д) – 38 < – ?8; е) – ?9 > – 34.

4.119

а) -1524 < -152?
{4; 5; 6; 7; 8; 9}

б) -8?32 > -8432
{4; 5; 6; 7; 8; 9}

в) -?7,32 < -87,32
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

г) -888,? < -888,6
{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} -\frac{3}{8} < -\frac{?}{8} \\ \left\{3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{?}{9} > -\frac{3}{4} \\ -\frac{?4}{36} > -\frac{27}{36} \\ \left\{7;8;9\right\} \end{gathered}$$

а) Чтобы неравенство $-1524 < -152?$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-1524 \ge -152?$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-1524 \ge -152x$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-1524| \le |-152x|$, что равносильно $1524 \le 152x$. Сравнивая числа $1524$ и $152x$, мы видим, что первые три цифры у них одинаковы. Неравенство будет верным, если последняя цифра числа $1524$ (то есть 4) будет меньше или равна последней цифре числа $152x$ (то есть $x$). Таким образом, $4 \le x$.

Ответ: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

б) Чтобы неравенство $-8?32 > -8432$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-8?32 \le -8432$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-8x32 \le -8432$. При сравнении отрицательных чисел меньшим (или равным) является то число, модуль которого больше (или равен). Следовательно, $|-8x32| \ge |-8432|$, что равносильно $8x32 \ge 8432$. Сравнивая числа $8x32$ и $8432$, мы видим, что первая цифра у них одинакова (8). Неравенство будет верным, если вторая цифра левого числа ($x$) будет больше или равна второй цифре правого числа (4). Таким образом, $x \ge 4$.

Ответ: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

в) Чтобы неравенство $-?7,32 < -87,32$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-?7,32 \ge -87,32$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-x7,32 \ge -87,32$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-x7,32| \le |-87,32|$, что равносильно $x7,32 \le 87,32$. Сравнивая числа $x7,32$ и $87,32$, мы видим, что неравенство будет верным, если цифра в разряде десятков левого числа ($x$) будет меньше или равна цифре в разряде десятков правого числа (8). Таким образом, $x \le 8$.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

г) Чтобы неравенство $-888,? < -888,6$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-888,? \ge -888,6$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-888,x \ge -888,6$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-888,x| \le |-888,6|$, что равносильно $888,x \le 888,6$. Целые части чисел равны, поэтому сравниваем их дробные части. Неравенство будет верным, если цифра в разряде десятых левого числа ($x$) будет меньше или равна цифре в разряде десятых правого числа (6). Таким образом, $x \le 6$.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

д) Чтобы неравенство $-\frac{3}{8} < -\frac{?}{8}$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-\frac{3}{8} \ge -\frac{?}{8}$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Умножим обе части неравенства $-\frac{3}{8} \ge -\frac{x}{8}$ на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{3}{8} \le \frac{x}{8}$. Так как знаменатели дробей одинаковы и положительны, можно сравнить их числители: $3 \le x$.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

е) Чтобы неравенство $-\frac{?}{9} > -\frac{3}{4}$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-\frac{?}{9} \le -\frac{3}{4}$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Умножим обе части неравенства $-\frac{x}{9} \le -\frac{3}{4}$ на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{x}{9} \ge \frac{3}{4}$. Чтобы сравнить дроби, воспользуемся перекрестным умножением: $x \cdot 4 \ge 3 \cdot 9$, что дает $4x \ge 27$. Разделим обе части на 4: $x \ge \frac{27}{4}$, или $x \ge 6,75$. Так как $x$ - это цифра, то она должна быть целым числом. Этому условию удовлетворяют цифры, большие или равные 7.

Ответ: {7, 8, 9}.