Номер 5.127, страница 94, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5.127. Было куплено одинаковое количество научно–познавательных и научно–фантастических книг. Часть научно–познавательных книг отправили в школьную библиотеку. В 1,2 раза меньшее число научно–фантастических книг отдали для вручения победителям викторины. После этого для подарков шестиклассникам научно–познавательных книг осталось 30, а научно–фантастических – 40 книг. Сколько книг было: а) куплено; б) отправлено в школьную библиотеку; в) отдано для вручения победителям викторины?

5.127

Пусть х книг – отдали научно – фантастических книг для вручения победителям викторины, тогда 1,2х книг – отправлено в школьную библиотеку научно – познавательных, (х + 40) книг – было научно – фантастических, (1,2х + 30) книг – было научно – познавательных. Зная, что книг было поровну, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + 40 = 1,2х + 30; \\ х – 1,2х = 30 – 40; \\ -0,2х = -10 ; \\ х = -10 : (-0,2); \\ х = -100 : (-2); \end{gathered}$$

х = 50 (к) – отдано научно – фантастических;

а) $50 + 40 + 1,2 · 50 + 30 = 180$ книг – было куплено;

б) $1,2 · 50 = 60$ книг – отдали в библиотеку;

в) 50 (к) – отдали для вручения победителям викторины.

Ответ: а) 180 книг; б) 60 книг; в) 50 книг.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество научно-познавательных книг. Так как было куплено одинаковое количество книг обоих видов, то научно-фантастических книг также было куплено $x$ штук.

Пусть $y$ — это количество научно-познавательных книг, которое отправили в школьную библиотеку.

По условию, после этого научно-познавательных книг осталось 30. Значит, мы можем составить первое уравнение:

$x - y = 30$

Количество научно-фантастических книг, отданных победителям викторины, было в 1,2 раза меньше, чем количество научно-познавательных, отправленных в библиотеку. То есть, их было $y / 1,2$.

После этого научно-фантастических книг осталось 40. Составим второе уравнение:

$x - \frac{y}{1,2} = 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x - y = 30 \\ x - \frac{y}{1,2} = 40 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 30 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(30 + y) - \frac{y}{1,2} = 40$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$y - \frac{y}{1,2} = 40 - 30$

$y(1 - \frac{1}{1,2}) = 10$

$y(\frac{1,2 - 1}{1,2}) = 10$

$y \cdot \frac{0,2}{1,2} = 10$

$y = 10 \cdot \frac{1,2}{0,2} = 10 \cdot 6 = 60$

Мы нашли, что $y=60$. Это количество научно-познавательных книг, отправленных в библиотеку.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 30 + y = 30 + 60 = 90$

Итак, изначально было куплено по 90 книг каждого вида.

а) куплено

Общее количество купленных книг равно сумме научно-познавательных и научно-фантастических книг.

$90 + 90 = 180$ книг.

Ответ: 180 книг.

б) отправлено в школьную библиотеку

Количество книг, отправленных в школьную библиотеку, соответствует найденной нами переменной $y$.

$y = 60$ книг.

Ответ: 60 книг.

в) отдано для вручения победителям викторины

Количество научно-фантастических книг, отданных победителям, было в 1,2 раза меньше, чем отправлено в библиотеку ($y$).

$\frac{y}{1,2} = \frac{60}{1,2} = 50$ книг.

Проверим: Изначально было 90 научно-фантастических книг, осталось 40. Значит, отдали $90 - 40 = 50$ книг. Расчеты верны.

Ответ: 50 книг.