Номер 5.15, страница 79, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5.15. Найдите значение выражения:
а) 236 + 359 – 6312;
б) 414 – 323 – 278;
в) 416 – 949 + 3712;
г) 715 – 4215 – 923.

5.15

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 2{\frac{3}{6}}^{\overline{)·6}} + 3{\frac{5}{9}}^{\overline{)·4}} - 6{\frac{3}{12}}^{\overline{)·3}} = 2\frac{18}{36} + 3\frac{20}{36} - \\ -6\frac{9}{36} = 5\frac{38}{36} - 6\frac{9}{36} = 5\frac{38}{36} + \left(- 6\frac{9}{36}\right)= \\ = -\left(6\frac{9}{36} - 5\frac{38}{36} \right) = -\left(5\frac{45}{36} - 5\frac{38}{36}\right) = -\frac{7}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} {4\frac{1}{4 }}^{\overline{)·6}} - {3\frac{2}{3}}^{\overline{)·8}} - {2\frac{7}{8}}^{\overline{)·3}} = 4\frac{6}{24} - 3\frac{16}{24} - \\ - 2\frac{21}{24} = 4\frac{6}{24} + \left(- 3\frac{16}{24}\right) +\left(- 2\frac{21}{24}\right) = \\ = 4\frac{6}{24} + \left(-\left(3\frac{16}{24} + 2\frac{21}{24}\right)\right) = 4\frac{6}{24} + \\ + \left(-5\frac{37}{24}\right) = 4\frac{6}{24} + \left(-6\frac{13}{24}\right) = \\ = -\left(6\frac{13}{24} - 4\frac{6}{24}\right) = -2\frac{7}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} {4\frac{1}{6}}^{\overline{)·6}} - {9\frac{4}{9}}^{\overline{)·4}} +{ 3\frac{7}{12}}^{\overline{)·3}} = 4\frac{6}{36} - 9\frac{16}{36} + \\ + 3\frac{21}{36} =7\frac{27}{36} - 9\frac{16}{36} = - \left(9\frac{16}{36} -7\frac{27}{36} \right)= \\ = -\left(8\frac{52}{36} -7\frac{27}{36} \right) = -1\frac{25}{36} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)} {7\frac{1}{5}}^{\overline{)·3}} - 4\frac{2}{15} - {9\frac{2}{3}}^{\overline{)·5}} = 7\frac{3}{15} - 4\frac{2}{15} - \\ - 9\frac{10}{15} = 3\frac{1}{15} - 9\frac{10}{15} = -\left(9\frac{10}{15} -3\frac{1}{15} \right)= \\ = -6\frac{9}{15} = -6\frac{3}{5} \end{gathered}$$

а) $2\frac{3}{6} + 3\frac{5}{9} - 6\frac{3}{12}$

Для решения этого примера мы можем работать с целыми и дробными частями отдельно или преобразовать все смешанные числа в неправильные дроби. Второй способ часто бывает проще, чтобы избежать ошибок с отрицательными числами. Давайте воспользуемся им.

1. Сначала упростим дроби, где это возможно, и преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$3\frac{5}{9} = \frac{3 \times 9 + 5}{9} = \frac{32}{9}$

$6\frac{3}{12} = 6\frac{1}{4} = \frac{6 \times 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

2. Теперь наше выражение выглядит так:

$\frac{5}{2} + \frac{32}{9} - \frac{25}{4}$

3. Чтобы выполнить сложение и вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2, 9 и 4 равно 36.

$\frac{5}{2} = \frac{5 \times 18}{2 \times 18} = \frac{90}{36}$

$\frac{32}{9} = \frac{32 \times 4}{9 \times 4} = \frac{128}{36}$

$\frac{25}{4} = \frac{25 \times 9}{4 \times 9} = \frac{225}{36}$

4. Подставим дроби с общим знаменателем в выражение и выполним действия:

$\frac{90}{36} + \frac{128}{36} - \frac{225}{36} = \frac{90 + 128 - 225}{36} = \frac{218 - 225}{36} = -\frac{7}{36}$

Ответ: $-\frac{7}{36}$

б) $4\frac{1}{4} - 3\frac{2}{3} - 2\frac{7}{8}$

1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{4} = \frac{4 \times 4 + 1}{4} = \frac{17}{4}$

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \times 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

$2\frac{7}{8} = \frac{2 \times 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$

2. Запишем выражение с неправильными дробями:

$\frac{17}{4} - \frac{11}{3} - \frac{23}{8}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей. НОК для 4, 3 и 8 равно 24.

$\frac{17}{4} = \frac{17 \times 6}{4 \times 6} = \frac{102}{24}$

$\frac{11}{3} = \frac{11 \times 8}{3 \times 8} = \frac{88}{24}$

$\frac{23}{8} = \frac{23 \times 3}{8 \times 3} = \frac{69}{24}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{102}{24} - \frac{88}{24} - \frac{69}{24} = \frac{102 - 88 - 69}{24} = \frac{14 - 69}{24} = -\frac{55}{24}$

5. Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{55}{24} = -2\frac{7}{24}$

Ответ: $-2\frac{7}{24}$

в) $4\frac{1}{6} - 9\frac{4}{9} + 3\frac{7}{12}$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \times 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

$9\frac{4}{9} = \frac{9 \times 9 + 4}{9} = \frac{85}{9}$

$3\frac{7}{12} = \frac{3 \times 12 + 7}{12} = \frac{43}{12}$

2. Запишем выражение в новом виде:

$\frac{25}{6} - \frac{85}{9} + \frac{43}{12}$

3. Найдем общий знаменатель для 6, 9 и 12. НОК(6, 9, 12) = 36.

$\frac{25}{6} = \frac{25 \times 6}{6 \times 6} = \frac{150}{36}$

$\frac{85}{9} = \frac{85 \times 4}{9 \times 4} = \frac{340}{36}$

$\frac{43}{12} = \frac{43 \times 3}{12 \times 3} = \frac{129}{36}$

4. Выполним действия. Для удобства сначала сложим положительные числа:

$\frac{150}{36} - \frac{340}{36} + \frac{129}{36} = \frac{150 + 129 - 340}{36} = \frac{279 - 340}{36} = -\frac{61}{36}$

5. Переведем результат в смешанное число:

$-\frac{61}{36} = -1\frac{25}{36}$

Ответ: $-1\frac{25}{36}$

г) $7\frac{1}{5} - 4\frac{2}{15} - 9\frac{2}{3}$

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \times 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

$4\frac{2}{15} = \frac{4 \times 15 + 2}{15} = \frac{62}{15}$

$9\frac{2}{3} = \frac{9 \times 3 + 2}{3} = \frac{29}{3}$

2. Выражение принимает вид:

$\frac{36}{5} - \frac{62}{15} - \frac{29}{3}$

3. Общий знаменатель для 5, 15 и 3 равен 15.

$\frac{36}{5} = \frac{36 \times 3}{5 \times 3} = \frac{108}{15}$

$\frac{29}{3} = \frac{29 \times 5}{3 \times 5} = \frac{145}{15}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{108}{15} - \frac{62}{15} - \frac{145}{15} = \frac{108 - 62 - 145}{15} = \frac{46 - 145}{15} = -\frac{99}{15}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3, и преобразуем в смешанное число:

$-\frac{99}{15} = -\frac{99 \div 3}{15 \div 3} = -\frac{33}{5} = -6\frac{3}{5}$

Ответ: $-6\frac{3}{5}$