Номер 6.22, страница 102, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.22. Нарисуйте четырёхугольник. Отметьте точками А, В, С и D середины сторон. Проведите отрезки АВ, ВС, CD и AD. Проверьте, будут ли параллельны противоположные стороны четырёхугольника ABCD.

6.22

$AB║CD, AD║BC$

Эта задача является частным случаем теоремы Вариньона, которая утверждает, что отрезки, соединяющие середины сторон произвольного четырёхугольника, образуют параллелограмм. А у параллелограмма, по определению, противоположные стороны параллельны. Давайте докажем это утверждение по шагам.

Нарисуйте четырёхугольник. Отметьте точки A, B, C и D середины сторон. Проведите отрезки AB, BC, CD и AD.

Пусть дан произвольный четырёхугольник, вершины которого мы обозначим как $M_1, M_2, M_3, M_4$. Отметим точки $A, B, C, D$ как середины его сторон в последовательном порядке: $A$ — середина стороны $M_1M_2$, $B$ — середина стороны $M_2M_3$, $C$ — середина стороны $M_3M_4$, $D$ — середина стороны $M_4M_1$. Соединим эти точки отрезками и получим четырёхугольник $ABCD$.

Проверьте, будут ли параллельны противоположные стороны четырёхугольника ABCD.

Чтобы проверить параллельность противоположных сторон ($AB$ и $CD$, а также $AD$ и $BC$), мы используем теорему о средней линии треугольника. Для этого проведём диагонали в исходном четырёхугольнике $M_1M_2M_3M_4$.

1. Проверка параллельности сторон $AB$ и $CD$.
Проведём диагональ $M_1M_3$. Она делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle M_1M_2M_3$ и $\triangle M_1M_3M_4$.

В треугольнике $\triangle M_1M_2M_3$ отрезок $AB$ соединяет середины сторон $M_1M_2$ и $M_2M_3$. По теореме о средней линии треугольника, этот отрезок параллелен третьей стороне ($M_1M_3$) и равен её половине: $AB \parallel M_1M_3$ и $AB = \frac{1}{2} M_1M_3$.

В треугольнике $\triangle M_1M_3M_4$ отрезок $CD$ соединяет середины сторон $M_3M_4$ и $M_4M_1$. Следовательно, $CD$ также является средней линией, и он параллелен стороне $M_1M_3$ и равен её половине: $CD \parallel M_1M_3$ и $CD = \frac{1}{2} M_1M_3$.

Так как отрезки $AB$ и $CD$ параллельны одному и тому же отрезку $M_1M_3$, они параллельны друг другу: $AB \parallel CD$.

2. Проверка параллельности сторон $AD$ и $BC$.
Теперь проведём другую диагональ, $M_2M_4$. Она делит четырёхугольник на треугольники $\triangle M_1M_2M_4$ и $\triangle M_2M_3M_4$.

В треугольнике $\triangle M_1M_2M_4$ отрезок $AD$ соединяет середины сторон $M_1M_2$ и $M_4M_1$. Следовательно, $AD$ — средняя линия, и $AD \parallel M_2M_4$ и $AD = \frac{1}{2} M_2M_4$.

В треугольнике $\triangle M_2M_3M_4$ отрезок $BC$ соединяет середины сторон $M_2M_3$ и $M_3M_4$. Следовательно, $BC$ — средняя линия, и $BC \parallel M_2M_4$ и $BC = \frac{1}{2} M_2M_4$.

Так как отрезки $AD$ и $BC$ параллельны одному и тому же отрезку $M_2M_4$, они параллельны друг другу: $AD \parallel BC$.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны.

Ответ: Да, противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$, образованного серединами сторон произвольного четырёхугольника, всегда будут параллельны.