Номер 12, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.12. Что называют модулем числа?

В.12

Модулем числа n называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до точки N(n).

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется само это число, если оно неотрицательное, и число, ему противоположное, если оно отрицательное. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

Таким образом, определение модуля можно записать в виде формулы:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим это на примерах:

• Модуль положительного числа равен самому числу. Например, $|5| = 5$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Например, $|-7| = -(-7) = 7$.
• Модуль нуля равен нулю. $|0| = 0$.

Геометрический смысл модуля:

На координатной прямой модуль числа $a$ — это расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки, которая изображает это число. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа также всегда является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

Например, и точка с координатой 3, и точка с координатой -3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, равном 3. Поэтому $|3| = 3$ и $|-3| = 3$.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого числа есть число неотрицательное: $|a| \ge 0$.
2. Модули противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$.
3. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
4. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \ne 0$).
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a|^2 = a^2$.
6. Неравенство треугольника: модуль суммы двух чисел не превышает суммы их модулей: $|a + b| \le |a| + |b|$.

Ответ: Модулем числа $a$ (обозначается $|a|$) называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Алгебраически, модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.