Номер 13, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.13. Могут ли значения выражений −r; −rv; |r |; v − r быть:
а) положительными;
б) отрицательными;
в) нулём?

В.13

а) –r > 0, если r < 0
$\frac{-r}{v} > 0$, если:
1) r < 0, v > 0
2) r > 0, v < 0
|r| положительно, если r ≠ 0
v – r положительно, если v > r

б) –r < 0, если r > 0
$\frac{-r}{v} < 0$, если:
1) r > 0, v > 0
2) r < 0, v < 0
|r| не может быть отрицательным
v – r < 0, если v < r

в) –r = 0, если r = 0
$\frac{-r}{v} = 0$ = 0, если r = 0, v ≠ 0
|r| = 0, если r = 0
v – r = 0, если v = r

Проанализируем каждую возможность для значений выражений $-r$, $\frac{-r}{v}$, $|r|$ и $v - r$.

а) положительными;

Чтобы все четыре выражения были положительными, должны одновременно выполняться следующие неравенства:

1. $-r > 0$
2. $\frac{-r}{v} > 0$
3. $|r| > 0$
4. $v - r > 0$

Рассмотрим эти условия по порядку:

Из условия 1 ($-r > 0$) следует, что $r$ должно быть отрицательным числом, то есть $r < 0$.

Условие 3 ($|r| > 0$) означает, что $r$ не равно нулю ($r \neq 0$). Это условие автоматически выполняется, если $r < 0$.

Из условия 1 мы знаем, что числитель дроби в условии 2 ($-r$) положителен. Чтобы вся дробь $\frac{-r}{v}$ была положительной, знаменатель $v$ также должен быть положительным ($v > 0$).

Условие 4 ($v - r > 0$) означает, что $v > r$. Поскольку мы установили, что $v > 0$ и $r < 0$, это неравенство всегда будет выполняться, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Итак, все четыре выражения будут положительными, если мы выберем любое отрицательное число для $r$ и любое положительное число для $v$.

Например, пусть $r = -2$ и $v = 3$. Проверим значения выражений:

• $-r = -(-2) = 2$ (положительное)
• $\frac{-r}{v} = \frac{-(-2)}{3} = \frac{2}{3}$ (положительное)
• $|r| = |-2| = 2$ (положительное)
• $v - r = 3 - (-2) = 5$ (положительное)

Таким образом, значения всех выражений могут быть положительными.

Ответ: Да, могут.

б) отрицательными;

Чтобы все четыре выражения были отрицательными, должны одновременно выполняться следующие неравенства:

1. $-r < 0$
2. $\frac{-r}{v} < 0$
3. $|r| < 0$
4. $v - r < 0$

Рассмотрим третье условие: $|r| < 0$. Модуль (абсолютное значение) любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|r| \ge 0$. Неравенство $|r| < 0$ не имеет решений.

Поскольку одно из условий невыполнимо, то и вся система условий невыполнима. Значит, значения всех четырех выражений не могут быть одновременно отрицательными.

Ответ: Нет, не могут.

в) нулём?

Чтобы все четыре выражения были равны нулю, должны одновременно выполняться следующие равенства:

1. $-r = 0$
2. $\frac{-r}{v} = 0$
3. $|r| = 0$
4. $v - r = 0$

Рассмотрим эти условия.

Из условия 1 ($-r = 0$) и условия 3 ($|r| = 0$) однозначно следует, что $r = 0$.

Подставим $r = 0$ в условие 4 ($v - r = 0$): $v - 0 = 0$, откуда следует, что $v = 0$.

Теперь рассмотрим условие 2 ($\frac{-r}{v} = 0$) с учетом найденных значений $r=0$ и $v=0$. Выражение принимает вид $\frac{0}{0}$. Однако, деление на ноль в математике не определено. Выражение $\frac{-r}{v}$ имеет смысл только при $v \neq 0$.

Возникает противоречие: для выполнения условия 4 требуется $v=0$, а для существования выражения из условия 2 требуется $v \neq 0$. Невозможно, чтобы переменная $v$ одновременно была равна и не равна нулю.

Следовательно, значения всех четырех выражений не могут быть одновременно равны нулю.

Ответ: Нет, не могут.