Номер 7, страница 124, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.7. Справедливо ли для всех рациональных чисел n и m:

а) −nm = −n · −m;

б) −(n + m) = −n + −m;

в) 1nm = 1n · 1m;

г) 1n + m = 1n + 1m?

В.7

а) нет, в правой части один минус лишний

б) да

в) да

г) нет, нельзя поменять слагаемое на обратное число

а) −nm = −n ⋅ m

Данное равенство является одним из основных свойств умножения рациональных чисел. Рассмотрим обе части равенства.

Левая часть, $-nm$, представляет собой число, противоположное произведению $n$ и $m$. Это можно записать как $(-1) \cdot (nm)$.

Правая часть, $-n \cdot m$, представляет собой произведение числа $-n$ (противоположного $n$) и числа $m$. Это можно записать как $((-1) \cdot n) \cdot m$.

Для рациональных чисел справедлив сочетательный (ассоциативный) закон умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Применим его к правой части:

$((-1) \cdot n) \cdot m = (-1) \cdot (n \cdot m)$

Как видим, левая и правая части тождественно равны. Следовательно, равенство справедливо для всех рациональных чисел $n$ и $m$.

Ответ: Да, справедливо.

б) −(n + m) = −n + −m

Это равенство является правилом раскрытия скобок с отрицательным знаком, которое основано на распределительном свойстве умножения.

Левая часть, $-(n+m)$, — это число, противоположное сумме $n$ и $m$. Его можно представить в виде произведения: $(-1) \cdot (n+m)$.

Правая часть, $-n + -m$, — это сумма чисел, противоположных $n$ и $m$, то есть $(-n) + (-m)$.

Используя распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения $a \cdot (b+c) = ab + ac$, раскроем скобки в левой части:

$(-1) \cdot (n+m) = (-1) \cdot n + (-1) \cdot m$

По определению, $(-1) \cdot n = -n$ и $(-1) \cdot m = -m$. Таким образом, левая часть преобразуется к виду $-n + (-m)$, что полностью совпадает с правой частью.

Равенство справедливо для всех рациональных чисел $n$ и $m$.

Ответ: Да, справедливо.

в) $\frac{1}{nm} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}$

Данное равенство связывает операцию взятия обратного числа с умножением. Если $n$ и $m$ — ненулевые рациональные числа, то равенство справедливо. По правилу умножения дробей, правая часть равна:

$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1 \cdot 1}{n \cdot m} = \frac{1}{nm}$

Однако в вопросе указано, что равенство должно быть справедливым для **всех** рациональных чисел $n$ и $m$. Множество рациональных чисел включает 0.

Если хотя бы одно из чисел, $n$ или $m$, равно нулю, то их произведение $nm$ также равно нулю. В этом случае левая часть $\frac{1}{nm}$ превращается в $\frac{1}{0}$, а это выражение не определено (деление на ноль). Одновременно, если $n=0$ или $m=0$, то в правой части также возникает деление на ноль в выражении $\frac{1}{n}$ или $\frac{1}{m}$.

Поскольку существуют рациональные числа (например, $n=0$), для которых данное равенство не определено, оно не является справедливым для всех рациональных чисел.

Ответ: Нет, не справедливо.

г) $\frac{1}{n} + m = \frac{1}{n} + \frac{1}{m}$

Проанализируем данное равенство. Если предположить, что $n \neq 0$, мы можем вычесть из обеих частей равенства слагаемое $\frac{1}{n}$. Тогда получим:

$m = \frac{1}{m}$

Это новое равенство очевидно не выполняется для всех рациональных чисел $m$. Например, если $m=2$, то $2 \neq \frac{1}{2}$.

Чтобы доказать, что исходное равенство неверно для всех рациональных чисел, достаточно привести один контрпример. Пусть $n=2$ и $m=3$.

Левая часть: $\frac{1}{2} + 3 = 0.5 + 3 = 3.5$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку $3.5 \neq \frac{5}{6}$, равенство не является справедливым для всех рациональных чисел $n$ и $m$. Оно выполняется только при $m=1$ или $m=-1$ (и при условии, что $n, m \neq 0$).

Ответ: Нет, не справедливо.