Номер 77, страница 134, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.77. Мальчики от 11 до 12 лет сдавали нормы ГТО по подтягиванию из виса лёжа на высокой перекладине. Несколько человек выполнили только 2 подтягивания, 3 подтягивания (бронзовый значок) выполнили 20 человек, 4 подтягивания (серебряный значок) − 15 человек, 7 подтягиваний (золотой значок) − 10 человек. Сколько мальчиков уже не смогут получить значки после выполнения этого норматива, если среднее число подтягиваний на одного участника равно 4?

П.77

Пусть х мальчиков не смогут получить значки, тогда составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{2\mathrm{х} + 3 · 20 + 4 · 15 + 7 · 10}{\mathrm{х} + 20 + 15 + 10} =4; \\ \frac{2\mathrm{х} + 60 +60 + 70}{\mathrm{х} + 45} =4; \\ 2\mathrm{х}+190=4 (\mathrm{х}+45); \\ 2\mathrm{х}+190=4\mathrm{х}+180; \\ 2\mathrm{х}-4\mathrm{х}=180-190; \\ -2\mathrm{х}=-10; \\ \mathrm{х} = -10 : (-2); \\ \mathrm{х} = 5 (\mathrm{уч}.) \\ \mathrm{Ответ}: 5 \mathrm{мальчиков}. \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо найти количество мальчиков, которые выполнили 2 подтягивания, так как именно они не соответствуют нормативам для получения значка (минимальное количество для бронзового значка — 3 подтягивания). Обозначим это неизвестное количество мальчиков за $x$.

1. Выразим общее количество участников.
Общее число участников — это сумма всех групп мальчиков: тех, кто выполнил 2, 3, 4 и 7 подтягиваний.
$N_{участников} = x + 20 + 15 + 10 = x + 45$ человек.

2. Выразим общее количество выполненных подтягиваний.
Для этого нужно умножить количество человек в каждой группе на количество выполненных ими подтягиваний и сложить результаты.
$N_{подтягиваний} = (x \cdot 2) + (20 \cdot 3) + (15 \cdot 4) + (10 \cdot 7) = 2x + 60 + 60 + 70 = 2x + 190$.

3. Составим и решим уравнение, используя данные о среднем значении.
Среднее число подтягиваний вычисляется по формуле: $Среднее = \frac{N_{подтягиваний}}{N_{участников}}$. По условию, среднее значение равно 4. Подставим наши выражения в формулу.
$4 = \frac{2x + 190}{x + 45}$
Чтобы решить уравнение, умножим обе части на знаменатель $(x + 45)$:
$4 \cdot (x + 45) = 2x + 190$
Раскроем скобки:
$4x + 180 = 2x + 190$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$4x - 2x = 190 - 180$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$
Следовательно, 5 мальчиков выполнили по 2 подтягивания, и именно они не смогут получить значки.

Ответ: 5 мальчиков уже не смогут получить значки после выполнения этого норматива.