Номер 648, страница 119 - гдз по химии 9 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

648. Металлическое серебро в компактном состоянии имеет плотность $10,8 \text{ г}/\text{см}^3$. Рассчитайте объёмную плотность электронного газа (т. е. число электронов в $1 \text{ см}^3$ металла) в серебре, приняв, что каждый атом отдаёт в коллективное пользование один электрон.

Дано:

Плотность металлического серебра (Ag) $\rho = 10,8 \text{ г/см}^3$

Количество электронов, отдаваемых каждым атомом, $z = 1$

Для решения задачи нам также понадобятся справочные данные:

Молярная масса серебра $M \approx 108 \text{ г/моль}$

Число Авогадро $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

Объёмную плотность электронного газа (концентрацию электронов) $n_e$.

Решение:

Объёмная плотность электронного газа $n_e$ — это количество свободных электронов $N_e$ в единице объёма $V$ металла:

$n_e = \frac{N_e}{V}$

По условию, каждый атом серебра отдаёт в коллективное пользование один электрон ($z=1$). Следовательно, число свободных электронов равно числу атомов серебра $N_{Ag}$:

$N_e = z \cdot N_{Ag} = 1 \cdot N_{Ag} = N_{Ag}$

Число атомов $N_{Ag}$ в объёме $V$ можно найти, зная массу $m$ этого объёма, молярную массу серебра $M$ и число Авогадро $N_A$.

Масса серебра в объёме $V$ равна:

$m = \rho \cdot V$

Количество вещества (число молей) серебра $\nu$ равно:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{\rho \cdot V}{M}$

Число атомов в этом количестве вещества:

$N_{Ag} = \nu \cdot N_A = \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot N_A$

Теперь можем найти концентрацию электронов, подставив выражение для $N_{Ag}$ в формулу для $n_e$:

$n_e = \frac{N_{Ag}}{V} = \frac{\frac{\rho \cdot V \cdot N_A}{M}}{V} = \frac{\rho \cdot N_A}{M}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$n_e = \frac{10,8 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{108 \text{ г/моль}}$

$n_e = \frac{10,8}{108} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ см}^{-3} = 0,1 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ см}^{-3} = 6,022 \cdot 10^{22} \text{ см}^{-3}$

Таким образом, в 1 см³ серебра содержится примерно $6,022 \cdot 10^{22}$ свободных электронов.

Ответ: объёмная плотность электронного газа в серебре составляет $6,022 \cdot 10^{22} \text{ см}^{-3}$.