Номер 2.14, страница 45, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.14. Разложите на простые множители числа:

а) 108, 225, 270, 512, 945, 1024;

б) 90, 180, 270, 350, 450, 1350, 4500;

в) 13, 2002, 1225, 14 014, 90 720.

2.14

а)

$108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3$	$225 = 3 · 3 · 5 · 5$
$270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5$	$512 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2$
$945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7$	$1024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2$

б)

$90 = 2 · 3 · 3 · 5$	$180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5$
$270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5$	$350 = 2 · 5 · 5 · 7$
$450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5$	$1350 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5$
$4500 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5$

в)

$13 = 13$	$2002 = 2 · 7 · 11 · 13$
$245 = 5 · 7 · 7$	$14014 = 2 · 7 · 7 · 11 · 13$
$90720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7$

108: Начнем последовательное деление на наименьшие простые числа. Число 108 четное, делим на 2:
$108 : 2 = 54$
$54 : 2 = 27$
Число 27 нечетное. Сумма его цифр $2+7=9$ делится на 3, значит, 27 делится на 3:
$27 : 3 = 9$
$9 : 3 = 3$
3 - простое число. Таким образом, разложение на простые множители:
$108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$.
Ответ: $108 = 2^2 \cdot 3^3$.

225: Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$225 : 5 = 45$
$45 : 5 = 9$
Теперь делим на 3:
$9 : 3 = 3$
3 - простое число. Таким образом, разложение на простые множители:
$225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$.
Ответ: $225 = 3^2 \cdot 5^2$.

270: Число оканчивается на 0, поэтому его можно представить как $27 \cdot 10$.
Разложим 27: $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Разложим 10: $10 = 2 \cdot 5$.
Объединяя множители, получаем:
$270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Ответ: $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

512: Это степень двойки. Будем последовательно делить на 2:
$512 : 2 = 256$
$256 : 2 = 128$
$128 : 2 = 64$
$64 : 2 = 32$
$32 : 2 = 16$
$16 : 2 = 8$
$8 : 2 = 4$
$4 : 2 = 2$
$2 : 2 = 1$
Деление на 2 было произведено 9 раз, следовательно:
$512 = 2^9$.
Ответ: $512 = 2^9$.

945: Число оканчивается на 5, делим на 5:
$945 : 5 = 189$
Сумма цифр числа 189 ($1+8+9=18$) делится на 3, делим на 3:
$189 : 3 = 63$
$63 : 3 = 21$
$21 : 3 = 7$
7 - простое число. Собираем множители:
$945 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.
Ответ: $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

1024: Это степень двойки, $1024 = 2^{10}$. Проверим последовательным делением:
$1024 : 2 = 512$, и так далее 10 раз.
$1024 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$.
Ответ: $1024 = 2^{10}$.

90: Представим как $9 \cdot 10$.
$9 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
$90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Ответ: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

180: Представим как $18 \cdot 10$.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
$180 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Ответ: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

270: (Решение аналогично пункту а)) $270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.
Ответ: $270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$.

350: Представим как $35 \cdot 10$.
$35 = 5 \cdot 7$
$10 = 2 \cdot 5$
$350 = (5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.
Ответ: $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$.

450: Представим как $45 \cdot 10$.
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$10 = 2 \cdot 5$
$450 = (3^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
Ответ: $450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

1350: Представим как $135 \cdot 10$.
Делим 135 на 5: $135 : 5 = 27$. $27 = 3^3$. Значит, $135 = 3^3 \cdot 5$.
$10 = 2 \cdot 5$.
$1350 = (3^3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.
Ответ: $1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

4500: Представим как $45 \cdot 100$.
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$
$4500 = (3^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$.
Ответ: $4500 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3$.

13: Это простое число, оно делится только на 1 и на само себя.
Ответ: $13 = 13$.

2002: Число четное, делим на 2:
$2002 : 2 = 1001$
Проверяем делимость 1001 на простые числа. Делим на 7:
$1001 : 7 = 143$
Проверяем делимость 143. Признак делимости на 11 ($1-4+3=0$) выполняется:
$143 : 11 = 13$
13 - простое число. Собираем множители:
$2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.
Ответ: $2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.

1225: Число оканчивается на 5, делим на 5:
$1225 : 5 = 245$
$245 : 5 = 49$
$49$ - это квадрат числа 7: $49 = 7^2$.
$1225 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7^2$.
Ответ: $1225 = 5^2 \cdot 7^2$.

14014: Число четное, делим на 2:
$14014 : 2 = 7007$
Число 7007 делится на 7:
$7007 : 7 = 1001$
Разложение 1001 мы уже знаем из примера с числом 2002: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.
Собираем все множители:
$14014 = 2 \cdot 7 \cdot 1001 = 2 \cdot 7 \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$.
Ответ: $14014 = 2 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$.

90720: Представим как $9072 \cdot 10$.
$10 = 2 \cdot 5$.
Разложим 9072. Делим на 2:
$9072 : 2 = 4536$
$4536 : 2 = 2268$
$2268 : 2 = 1134$
$1134 : 2 = 567$
Получили $9072 = 2^4 \cdot 567$.
Разложим 567. Сумма цифр $5+6+7=18$ делится на 9 (и на 3). Делим на 3:
$567 : 3 = 189$
$189 : 3 = 63$
$63 : 3 = 21$
$21 : 3 = 7$
Получили $567 = 3^4 \cdot 7$.
Объединяем все множители:
$90720 = (2^4 \cdot 3^4 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.
Ответ: $90720 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.