Номер 2.21, страница 46, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.21. Одно измерение параллелепипеда равно 20 см, а два других выражаются произвольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объём этого параллелепипеда всегда выражаться числом, кратным: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6?

2.21

$20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5$

а) кратно 2 – может

б) кратно 3 – нет

в) кратно 4 – да

г) кратно 5 - да

д) кратно 6 – нет

Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$. По условию задачи, одно измерение равно 20 см, а два других — произвольные натуральные числа. Пусть $a = 20$ см, а $b$ и $c$ — натуральные числа ($b \in \mathbb{N}, c \in \mathbb{N}$).

Объём параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставив известные значения, получаем:$V = 20 \cdot b \cdot c$.

Чтобы определить, будет ли объём $V$ всегда кратен заданным числам, проанализируем множитель 20. Его разложение на простые множители: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Следовательно, объём $V = (2^2 \cdot 5) \cdot b \cdot c$.

а) 2
Чтобы объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ был кратен 2, необходимо, чтобы произведение делилось на 2. Так как один из множителей (число 20) делится на 2 ($20 : 2 = 10$), то и всё произведение будет делиться на 2 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

б) 3
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 3. Делимость произведения на 3 означает, что хотя бы один из множителей должен быть кратен 3. Множитель 20 не делится на 3. Два других множителя, $b$ и $c$, являются произвольными натуральными числами, и мы можем выбрать такие, которые не делятся на 3. Например, если взять $b=1$ и $c=1$, то объём будет равен $V = 20 \cdot 1 \cdot 1 = 20$. Число 20 не кратно 3. Следовательно, объём не всегда кратен 3.
Ответ: нет.

в) 4
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 4. Так как один из множителей (число 20) делится на 4 ($20 : 4 = 5$), то и всё произведение будет гарантированно делиться на 4 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

г) 5
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 5. Так как один из множителей (число 20) делится на 5 ($20 : 5 = 4$), то и всё произведение будет всегда делиться на 5 при любых натуральных $b$ и $c$.
Ответ: да.

д) 6
Проверим, будет ли объём $V = 20 \cdot b \cdot c$ всегда кратен 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно и на 2, и на 3 ($6 = 2 \cdot 3$). Как мы установили в пункте а), объём всегда делится на 2. Однако, как показано в пункте б), объём не всегда делится на 3 (например, при $b=1, c=1$ объём $V=20$, что не кратно 3). Так как одно из условий делимости на 6 не выполняется всегда, то и объём не всегда будет кратен 6.
Ответ: нет.