Номер 2.17, страница 45, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.17. Делится ли число n на число m нацело, если:

а) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 и m = 2 · 2 · 7;

б) n = 2 · 5 · 5 · 17 · 17 и m = 2 · 3 · 5;

в) n = 3 · 3 · 5 · 7 · 19 и m = 3 · 3 · 7 · 19;

г) n = 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7 и m = 35;

д) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 и m = 308;

е) n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11 и m = 1000?

2.17

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · 3 · 5 · 7 · \cancel{7}}{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{7}}= 3 · 3 · 5 · 7$– делится

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · 5 · \cancel{5} · 17 · 17}{\cancel{2} · 3 ·\cancel{ 5}}$– не делится

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{n}{m}= \frac{\cancel{3} ·\cancel{ 3 }· 5 · \cancel{7} · \cancel{19}}{\cancel{3} · \cancel{3} · \cancel{7} · \cancel{19}}= 5$ – делится

$\mathit{г}\mathbf{)} \frac{n}{m}=\frac{2 · 3 · \cancel{5} · \cancel{7} · 7 · 7}{\cancel{35}}= 2 · 3 · 7 · 7$ – делится

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{n}{m}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · 3 · 3 · 5 · \cancel{7} · \cancel{11}}{\cancel{308}}=3 · 3 · 5$ – делится, так как $308 = 2 · 2 · 7 · 11$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{m}}=\frac{\cancel{2} · \cancel{2} · \cancel{2} · 3 · \cancel{5} · \cancel{5} · 11}{1000}= \frac{3 · 11}{5}$ – не делится, так как $1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5$

а) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Чтобы число $n$ делилось нацело на число $m$, необходимо и достаточно, чтобы все простые множители, входящие в разложение числа $m$, входили также и в разложение числа $n$, причем степень каждого множителя в разложении $m$ должна быть не больше его степени в разложении $n$. Разложение числа $n$ на простые множители в степенной форме: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2$. Разложение числа $m$ на простые множители в степенной форме: $m = 2^2 \cdot 7^1$. Сравним множители числа $m$ с множителями числа $n$:

• Простой множитель 2 входит в разложение $m$ во 2-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $2 \ge 2$, условие выполняется.
• Простой множитель 7 входит в разложение $m$ в 1-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $1 \le 2$, условие выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

б) Даны числа $n = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 17$ и $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 2 \cdot 5^2 \cdot 17^2$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Для того чтобы $n$ делилось на $m$, все простые множители $m$ должны присутствовать в разложении $n$. В разложении числа $m$ есть простой множитель 3, которого нет в разложении числа $n$. Следовательно, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.

в) Даны числа $n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $m = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 3^2 \cdot 7 \cdot 19$. Проверим, входят ли все простые множители $m$ в разложение $n$ в достаточной степени:

• Множитель 3: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 19: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

г) Даны числа $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 35$. Сначала разложим число $m$ на простые множители: $m = 35 = 5 \cdot 7$. Разложение числа $n$: $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^3$. Разложение числа $m$: $m = 5^1 \cdot 7^1$. Сравним множители:

• Множитель 5: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 3. Условие $1 \le 3$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

д) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $m = 308$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 308 = 2 \cdot 154 = 2 \cdot 2 \cdot 77 = 2^2 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $n$: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 11: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

е) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$ и $m = 1000$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$. Разложение числа $n$: $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^3 \cdot 5^3$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 3, в $n$ степень 3. Условие $3 \ge 3$ выполняется.
• Множитель 5: в $m$ степень 3, а в $n$ — степень 2. Условие $3 \ge 2$ не выполняется, так как степень множителя 5 в $m$ больше, чем в $n$ ($3 > 2$).

Поскольку не для всех простых множителей числа $m$ выполняется условие, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.