Номер 2.154, страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.154. Не приводя дроби к общему знаменателю, объясните, почему 17 > 19, 27 > 29, 47 > 49. Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Сравните по этому правилу дроби:

а) 781 и 782;

б) 15181 и 15182;

в) 14343 и 14345.

2.154

Из двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями больше та дробь, знаменатель которой меньше.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{7}{81}>\frac{7}{82} \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{15}{181}>\frac{15}{182} \\ \mathbf{в}\mathbf{)} \frac{14}{343}>\frac{14}{345} \end{gathered}$$

Объясним, почему указанные неравенства верны, не приводя дроби к общему знаменателю. Дробь представляет собой деление некоторого целого на части. Знаменатель (нижнее число) показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель (верхнее число) — сколько таких частей взято.

Возьмем, к примеру, дроби $ \frac{1}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. В первом случае целое разделили на 7 частей, а во втором — на 9. Очевидно, что если делить одно и то же целое на большее количество частей, то каждая отдельная часть будет меньше. Таким образом, одна седьмая часть ($ \frac{1}{7} $) больше, чем одна девятая ($ \frac{1}{9} $).

Этот же принцип применим и к остальным парам дробей: $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{2}{9} $, $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{9} $. Мы сравниваем одинаковое количество частей (2 и 4 соответственно), но размер этих частей разный. Так как $ \frac{1}{7} $ больше $ \frac{1}{9} $, то и две части по $ \frac{1}{7} $ будут больше, чем две части по $ \frac{1}{9} $. Аналогично для четырех частей.

Правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями:

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И наоборот, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Сравним по этому правилу дроби:

а) Сравним дроби $ \frac{7}{81} $ и $ \frac{7}{82} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 7. Сравниваем знаменатели: $ 81 < 82 $.
Согласно правилу, дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{7}{81} > \frac{7}{82} $.
Ответ: $ \frac{7}{81} > \frac{7}{82} $.

б) Сравним дроби $ \frac{15}{181} $ и $ \frac{15}{182} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 15. Сравниваем знаменатели: $ 181 < 182 $.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{15}{181} > \frac{15}{182} $.
Ответ: $ \frac{15}{181} > \frac{15}{182} $.

в) Сравним дроби $ \frac{14}{343} $ и $ \frac{14}{345} $.
Числители у этих дробей одинаковы и равны 14. Сравниваем знаменатели: $ 343 < 345 $.
Дробь с меньшим знаменателем будет больше.
Следовательно, $ \frac{14}{343} > \frac{14}{345} $.
Ответ: $ \frac{14}{343} > \frac{14}{345} $.