Номер 2.347, страница 90, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.347. Сколькими способами можно выбрать четырёх участников марафона из 16 человек?

2.347

1-ый участник: 16 вариантов;

2-ой участник: 16 – 1 = 15 вариантов;

3-ий участник: 15 – 1 = 14 вариантов;

4-ый участник: 14 – 1 = 13 вариантов.

16 • 15 • 14 • 13 = 43680 способов всего.

Ответ: 43 680 способов.

Данная задача решается с помощью комбинаторики, а именно — через нахождение числа сочетаний. Это связано с тем, что порядок, в котором выбираются участники марафона, не имеет значения. Важен только итоговый состав группы из четырёх человек.

Формула для расчёта числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементам выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В условиях нашей задачи:

• общее количество людей, из которых производится выбор, $n = 16$;
• количество участников, которых необходимо выбрать, $k = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}$

Теперь выполним вычисления. Для этого распишем факториалы и сократим их:

$C_{16}^4 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 12!}$

Сокращаем $12!$ в числителе и знаменателе:

$C_{16}^4 = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Рассчитаем полученное выражение:

$C_{16}^4 = \frac{43680}{24} = 1820$

Можно также упростить вычисление, сократив множители:

$C_{16}^4 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = ( \frac{16}{4 \cdot 2} ) \cdot ( \frac{15}{3} ) \cdot 14 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 14 \cdot 13 = 10 \cdot 182 = 1820$

Следовательно, существует 1820 способов выбрать четырёх участников марафона из 16 человек.

Ответ: 1820.