Номер 2.431, страница 102, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.431. Найдите корень уравнения:

а) 19x + 49x = 3118; б) 57y + 23y – 4 = 17; в) n + 514n = 17; г) y – 19y = 513; д) 27c + 23c – 1121c = 312; е) 58x + x – 34x = 134.

2.431

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} \frac{1}{9} х + \frac{4}{9} х = 3\frac{1}{18}; \\ \left(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} \right)х = 3\frac{1}{18}; \\ \frac{5}{9} х =3\frac{1}{18}; \\ х = 3\frac{1}{18} : \frac{5}{9} ; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\cancel{55}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{18}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{5}}}}; \\ х = \frac{11 · 1}{2 · 1}; \\ х = \frac{11}{2}; \\ х = 5\frac{1}{2}. \\ \mathrm{Ответ}: 5\frac{1}{2}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{7} у + \frac{2}{3} у - 4 = \frac{1}{7}; \\ \left({\frac{5}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}}\right) у = \frac{1}{7} + 4; \\ \left(\frac{15}{21} + \frac{14}{21}\right) у = 4\frac{1}{7}; \\ \frac{29}{21} у = 4\frac{1}{7}; \\ у = 4\frac{1}{7} : \frac{29}{21}; \\ у = \frac{\cancel{29}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{21}}}}{\cancel{29}}; \\ у = \frac{3}{1}; \\ у = 3. \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} n + \frac{5}{14} n = \frac{1}{7}; \\ \left(1 + \frac{5}{14}\right) n = \frac{1}{7}: \\ 1\frac{5}{14} n = \frac{1}{7}; \\ n = \frac{1}{7} : 1\frac{5}{14}; \\ n = \frac{1}{7} : \frac{19}{14}; \\ n = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{14}}}}{19}; \\ n = \frac{1 · 2}{1 · 19}; \\ n = \frac{2}{19}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{2}{19}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }у - \frac{1}{9} у = 5\frac{1}{3}; \\ \left(1 - \frac{1}{9}\right) у = 5\frac{1}{3}; \\ \frac{8}{9} у = 5\frac{1}{3}; \\ у = 5\frac{1}{3} : \frac{8}{9}; \\ у = \frac{16}{3} : \frac{8}{9}; \\ у = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}}; \\ у = \frac{2 · 3}{1 · 1}; \\ у = 6. \\ \mathrm{Ответ}: 6. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \frac{2}{7} с + \frac{2}{3} с - \frac{11}{21}с = 3\frac{1}{2}; \\ \left({\frac{2}{7}}^{\overline{)·3}} + {\frac{2}{3}}^{\overline{)·7}} - \frac{11}{21}\right) с = 3\frac{1}{2}; \\ \left(\frac{6}{21} + \frac{14}{21} - \frac{11}{21}\right) с = 3\frac{1}{2}; \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{9}}}}{{\displaystyle \underset{7}{\cancel{21}}}} с = 3\frac{1}{2}; \\ \frac{3}{7}с = \frac{7}{2}; \\ с = \frac{7}{2} : \frac{3}{7}; \\ с = \frac{7}{2} · \frac{7}{3}; \\ с = \frac{49}{6}; \\ с = 8\frac{1}{6}. \\ \mathrm{Ответ}: 8\frac{1}{6}. \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{8} х + х - \frac{3}{4} х =1\frac{3}{4}; \\ \left(\frac{5}{8} + 1- {\frac{3}{4}}^{\overline{)·2}} \right) х=1\frac{3}{4}; \\ \left(\frac{5}{8} + \frac{8}{8}- \frac{6}{8} \right) х=1\frac{3}{4}; \\ \frac{7}{8} х = \frac{7}{4}; \\ х = \frac{7}{4} : \frac{7}{8}; \\ х = \frac{\cancel{7}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}}}{\cancel{7}}; \\ х = \frac{2}{1}; \\ х =2. \\ \mathrm{Ответ}: 2 \end{gathered}$$

а) $ \frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18} $
Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения и выполним сложение коэффициентов, так как у них общий знаменатель:
$ (\frac{1}{9} + \frac{4}{9})x = 3\frac{1}{18} $
$ \frac{5}{9}x = 3\frac{1}{18} $
Теперь преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 3\frac{1}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{54+1}{18} = \frac{55}{18} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{5}{9}x = \frac{55}{18} $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $ \frac{5}{9} $. Это эквивалентно умножению на обратную дробь $ \frac{9}{5} $:
$ x = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5} $
Сократим дробь, разделив 55 и 5 на 5, а 18 и 9 на 9:
$ x = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{11}{2} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ x = 5\frac{1}{2} $
Ответ: $ 5\frac{1}{2} $

б) $ \frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = \frac{1}{7} $
Перенесем слагаемое -4 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$ \frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y = \frac{1}{7} + 4 $
Вычислим значение в правой части:
$ \frac{1}{7} + 4 = \frac{1}{7} + \frac{28}{7} = \frac{29}{7} $
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ (\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7})y = \frac{29}{7} $
$ (\frac{15}{21} + \frac{14}{21})y = \frac{29}{7} $
$ \frac{29}{21}y = \frac{29}{7} $
Чтобы найти $y$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{29}{21} $:
$ y = \frac{29}{7} \cdot \frac{21}{29} $
Сократим дроби:
$ y = \frac{21}{7} = 3 $
Ответ: $ 3 $

в) $ n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $n$ в левой части, помня, что $ n $ это $ 1n $:
$ (1 + \frac{5}{14})n = \frac{1}{7} $
$ (\frac{14}{14} + \frac{5}{14})n = \frac{1}{7} $
$ \frac{19}{14}n = \frac{1}{7} $
Чтобы найти $n$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{19}{14} $:
$ n = \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{19} $
Сократим 14 и 7 на 7:
$ n = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{19} = \frac{2}{19} $
Ответ: $ \frac{2}{19} $

г) $ y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, помня, что $ y $ это $ 1y $:
$ (1 - \frac{1}{9})y = 5\frac{1}{3} $
$ (\frac{9}{9} - \frac{1}{9})y = 5\frac{1}{3} $
$ \frac{8}{9}y = 5\frac{1}{3} $
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{8}{9}y = \frac{16}{3} $
Чтобы найти $y$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{8}{9} $:
$ y = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} $
Сократим дроби:
$ y = \frac{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 8} = 2 \cdot 3 = 6 $
Ответ: $ 6 $

д) $ \frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ (\frac{2 \cdot 3}{21} + \frac{2 \cdot 7}{21} - \frac{11}{21})c = 3\frac{1}{2} $
$ (\frac{6}{21} + \frac{14}{21} - \frac{11}{21})c = 3\frac{1}{2} $
$ \frac{6+14-11}{21}c = 3\frac{1}{2} $
$ \frac{9}{21}c = 3\frac{1}{2} $
Сократим коэффициент $ \frac{9}{21} $ на 3: $ \frac{3}{7}c $.
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{3}{7}c = \frac{7}{2} $
Чтобы найти $c$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{3}{7} $:
$ c = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{6} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ c = 8\frac{1}{6} $
Ответ: $ 8\frac{1}{6} $

е) $ \frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4} $
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8:
$ (\frac{5}{8} + 1 - \frac{3}{4})x = 1\frac{3}{4} $
$ (\frac{5}{8} + \frac{8}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2})x = 1\frac{3}{4} $
$ (\frac{5}{8} + \frac{8}{8} - \frac{6}{8})x = 1\frac{3}{4} $
$ \frac{5+8-6}{8}x = 1\frac{3}{4} $
$ \frac{7}{8}x = 1\frac{3}{4} $
Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:
$ 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{7}{8}x = \frac{7}{4} $
Чтобы найти $x$, умножим обе части на дробь, обратную $ \frac{7}{8} $:
$ x = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7} $
Сократим дроби:
$ x = \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $ 2 $