Номер 2.76, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.76. а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на девяти стульях?

б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из них пойдёт помогать артистам?

2.76

а) на стул № 1 зрителей можно посадить 9 способами

на стул № 2 - 8 способами

на стул № 3 - 7 способами

на стул № 4 - 6 способами

на стул № 5 - 5 способами

на стул № 6 - 4 способами

на стул № 7 - 3 способами

на стул № 8 - 2 способами

на стул № 9 - 1 способами

9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 362 880 (способов) – посадить зрителей

Ответ: 362 880 способов

б) на стул № 1 зрителей можно посадить 8 способами

на стул № 2 - 7 способами

на стул № 3 - 6 способами

на стул № 4 - 5 способами

на стул № 5 - 4 способами

на стул № 6 - 3 способами

на стул № 7 - 2 способами

на стул № 8 - 1 способами

на стул № 9 зрителей не будет

8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40 320 (способов) – посадить зрителей

Ответ: 40 320 способов

а) Эта задача заключается в нахождении количества способов рассадить 9 зрителей на 9 стульев. Поскольку все зрители и все стулья различны, а порядок их расположения важен, мы имеем дело с перестановками. Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое как $P_n$, вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=9$. Рассчитаем количество способов:

$P_9 = 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

Следовательно, существует 362 880 способов разместить 9 зрителей на 9 стульях.

Ответ: 362 880.

б) Согласно условию, один зритель уходит, и нам нужно разместить оставшихся $9 - 1 = 8$ зрителей. Количество стульев не изменилось и равно 9. Задача сводится к нахождению числа способов разместить 8 человек на 9 местах.

Это задача на нахождение числа размещений, так как важен порядок рассадки зрителей. Количество размещений $k$ элементов на $n$ местах, обозначаемое как $A_n^k$, вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае число зрителей $k=8$, а число стульев $n=9$. Подставим значения в формулу:

$A_9^8 = \frac{9!}{(9-8)!} = \frac{9!}{1!} = 9! = 362880$

Логически это можно объяснить так: для первого из восьми зрителей есть 9 вариантов выбора стула, для второго — 8, и так далее, до восьмого зрителя, у которого останется 2 варианта. Итоговое количество способов: $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 362880$. Эта ситуация эквивалентна расстановке 8 зрителей и одного "пустого места" на 9 стульях, что также является перестановкой 9 различных объектов ($P_9 = 9!$).

Ответ: 362 880.