Номер 5, страница 71, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5. Ширина прямоугольника равна 326 м, а его длина на 552 м больше.

а) Найдите длину прямоугольника.

б) Найдите периметр прямоугольника.

в) * На сколько увеличится периметр прямоугольника, если его ширину увеличить на 265 м, а длину увеличить на 378 м?

5.

$\mathit{а}\mathbf{)} {\frac{3}{26}}^{\overline{)·2}}+\frac{5}{52}=\frac{6}{52}+\frac{5}{52}=\frac{11}{52}$(м) – длина прямоугольника;

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{Р}=2 · \left({\frac{3}{26}}^{\overline{)·2}}+\frac{11}{52}\right)=2 · \left(\frac{6}{52}+\frac{11}{52}\right)=$

$= \stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{17}{{\displaystyle \underset{26}{\cancel{52}}}}=\frac{17}{26}$(м) – периметр прямоугольника;

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{\left)} \\ 1\right)\frac{2}{65}+\frac{3}{78}=\frac{2}{5 · 13}+\frac{3}{6 · 13}= \\ =\frac{2 · 6}{5 · 6 · 13}+\frac{3 · 5}{6 · 5 · 13}=\frac{12}{390}+\frac{15}{390}= \end{gathered}$$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{27}}}}{{\displaystyle \underset{130}{\cancel{390}}}}=\frac{9}{130}$ (м) – станет больше сумма двух сторон

$2) \stackrel{1}{\cancel{2}} · \frac{9}{{\displaystyle \underset{65}{\cancel{130}}}}=\frac{9}{65}$(м) – станет больше периметр прямоугольника

Ответ: увеличится на $\frac{9}{65}$ м.

а) Найдите длину прямоугольника.

По условию задачи ширина прямоугольника равна $ \frac{3}{26} $ м, а его длина на $ \frac{5}{52} $ м больше. Чтобы найти длину, необходимо сложить ширину и величину, на которую длина больше ширины.

Длина = $ \frac{3}{26} + \frac{5}{52} $.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 26 и 52 — это 52. Дополнительный множитель для первой дроби равен $ 52 \div 26 = 2 $.

$ \frac{3}{26} = \frac{3 \cdot 2}{26 \cdot 2} = \frac{6}{52} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{6}{52} + \frac{5}{52} = \frac{6+5}{52} = \frac{11}{52} $ м.

Ответ: длина прямоугольника равна $ \frac{11}{52} $ м.

б) Найдите периметр прямоугольника.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $ P = 2 \cdot (a+b) $, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.

Из условия и пункта а) нам известны:

ширина $ b = \frac{3}{26} $ м;

длина $ a = \frac{11}{52} $ м.

Подставим значения в формулу:

$ P = 2 \cdot (\frac{11}{52} + \frac{3}{26}) $

Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 52:

$ P = 2 \cdot (\frac{11}{52} + \frac{6}{52}) = 2 \cdot (\frac{11+6}{52}) = 2 \cdot \frac{17}{52} $

$ P = \frac{2 \cdot 17}{52} = \frac{34}{52} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ P = \frac{34 \div 2}{52 \div 2} = \frac{17}{26} $ м.

Ответ: периметр прямоугольника равен $ \frac{17}{26} $ м.

в)* На сколько увеличится периметр прямоугольника, если его ширину увеличить на $ \frac{2}{65} $ м, а длину увеличить на $ \frac{3}{78} $ м?

Увеличение периметра ($ \Delta P $) равно удвоенной сумме увеличений длины ($ \Delta a $) и ширины ($ \Delta b $). Это можно показать так:

Новый периметр $ P_{нов} = 2 \cdot ((a + \Delta a) + (b + \Delta b)) = 2 \cdot (a+b) + 2 \cdot (\Delta a + \Delta b) = P_{стар} + \Delta P $.

Следовательно, увеличение периметра $ \Delta P = 2 \cdot (\Delta a + \Delta b) $.

По условию, увеличение ширины $ \Delta b = \frac{2}{65} $ м, а увеличение длины $ \Delta a = \frac{3}{78} $ м.

$ \Delta P = 2 \cdot (\frac{3}{78} + \frac{2}{65}) $

Сначала упростим дробь $ \frac{3}{78} $, сократив её на 3:

$ \frac{3 \div 3}{78 \div 3} = \frac{1}{26} $

Теперь найдем сумму в скобках: $ \frac{1}{26} + \frac{2}{65} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 26 и 65. Разложим их на простые множители: $ 26 = 2 \cdot 13 $; $ 65 = 5 \cdot 13 $. Наименьшее общее кратное НОК(26, 65) = $ 2 \cdot 5 \cdot 13 = 130 $.

Приведем дроби к знаменателю 130:

$ \frac{1}{26} = \frac{1 \cdot 5}{26 \cdot 5} = \frac{5}{130} $

$ \frac{2}{65} = \frac{2 \cdot 2}{65 \cdot 2} = \frac{4}{130} $

Вычислим увеличение периметра:

$ \Delta P = 2 \cdot (\frac{5}{130} + \frac{4}{130}) = 2 \cdot \frac{9}{130} = \frac{18}{130} $

Сократим результат на 2:

$ \Delta P = \frac{18 \div 2}{130 \div 2} = \frac{9}{65} $ м.

Ответ: периметр прямоугольника увеличится на $ \frac{9}{65} $ м.