Номер 92, страница 135, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.92. Отметьте на координатной плоскости точку М(0; 6). Проведите окружность с центром М радиусом 10 единичных отрезков. Используя рисунок, найдите координаты точек пересечения окружности с осями координат.

П.92

(0; -4) и (0; 16) – точки пересечения с осью у

(-8; 0) и (8; 0) – точки пересечения с осью х

Сначала отметим на координатной плоскости точку $M(0; 6)$. Эта точка лежит на оси ординат (OY) на 6 единиц выше начала координат.

Затем проведем окружность с центром в точке $M$ и радиусом $R = 10$. Чтобы найти точки пересечения этой окружности с осями координат, как того требует условие "используя рисунок", рассмотрим каждую ось по отдельности.

Координаты точек пересечения окружности с осью ординат (OY)
Центр окружности $M(0; 6)$ уже лежит на оси OY. Точки пересечения окружности с этой осью также будут лежать на ней, одна на расстоянии радиуса "вверх" от центра, а другая "вниз".
Координата $y$ верхней точки пересечения: $y_{верх} = y_M + R = 6 + 10 = 16$.
Координата $y$ нижней точки пересечения: $y_{низ} = y_M - R = 6 - 10 = -4$.
Поскольку обе точки лежат на оси OY, их координата $x$ равна 0.
Ответ: Точки пересечения с осью OY: $(0; 16)$ и $(0; -4)$.

Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс (OX)
Пусть точка пересечения с осью OX имеет координаты $(x; 0)$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр окружности $M(0; 6)$, начало координат $O(0; 0)$ и точка пересечения на оси OX, назовем ее $A(x; 0)$. В этом треугольнике $OMA$ катет $OM$ — это расстояние от начала координат до центра по оси OY, его длина равна 6. Катет $OA$ — это расстояние от начала координат до точки пересечения по оси OX, его длина равна $|x|$. Гипотенуза $MA$ — это радиус окружности, ее длина равна 10.
По теореме Пифагора: $OM^2 + OA^2 = MA^2$.
$6^2 + x^2 = 10^2$
$36 + x^2 = 100$
$x^2 = 100 - 36$
$x^2 = 64$
$x = \pm\sqrt{64}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Поскольку обе точки лежат на оси OX, их координата $y$ равна 0.
Ответ: Точки пересечения с осью OX: $(8; 0)$ и $(-8; 0)$.