Номер 439, страница 80 - гдз по химии 8 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

439. Образец лития состоит из нуклидов литий-6 и ли-тий-7. Число атомов в образце равно $6,02 \cdot 10^{23}$, а его масса — 6,25 г. Рассчитайте, какое число атомов лития-6 в образце приходится на один атом лития-7.

Дано:

Образец лития состоит из нуклидов $^6\text{Li}$ и $^7\text{Li}$.
Общее число атомов в образце: $N_{общ} = 6,02 \cdot 10^{23}$
Масса образца: $m_{общ} = 6,25 \text{ г}$
Молярная масса лития-6: $M_6 \approx 6 \text{ г/моль}$
Молярная масса лития-7: $M_7 \approx 7 \text{ г/моль}$
Постоянная Авогадро: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$m_{общ} = 6,25 \text{ г} = 6,25 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Отношение числа атомов лития-6 к числу атомов лития-7: $\frac{N_6}{N_7}$

Решение:

Пусть $N_6$ — число атомов нуклида литий-6, а $N_7$ — число атомов нуклида литий-7 в образце.

Согласно условию задачи, общее число атомов в образце равно:
$N_6 + N_7 = N_{общ} = 6,02 \cdot 10^{23}$

Общая масса образца $m_{общ}$ складывается из масс всех атомов лития-6 ($m_6$) и лития-7 ($m_7$):
$m_{общ} = m_6 + m_7$

Массу атомов каждого изотопа можно выразить через число атомов $N$ и массу одного атома $m_a$. Масса одного атома, в свою очередь, связана с молярной массой $M$ и постоянной Авогадро $N_A$ соотношением $m_a = \frac{M}{N_A}$.
$m_6 = N_6 \cdot \frac{M_6}{N_A}$
$m_7 = N_7 \cdot \frac{M_7}{N_A}$

Молярные массы нуклидов с хорошей точностью равны их массовым числам, выраженным в г/моль:
$M_6 \approx 6 \text{ г/моль}$
$M_7 \approx 7 \text{ г/моль}$

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $N_6$ и $N_7$:
1) $N_6 + N_7 = 6,02 \cdot 10^{23}$
2) $N_6 \frac{M_6}{N_A} + N_7 \frac{M_7}{N_A} = m_{общ}$

Подставим известные значения во второе уравнение, используя $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$:
$N_6 \frac{6 \text{ г/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} + N_7 \frac{7 \text{ г/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} = 6,25 \text{ г}$

Умножим обе части уравнения на $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$:
$6 \cdot N_6 + 7 \cdot N_7 = 6,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$

Теперь решим систему уравнений:
1) $N_6 + N_7 = 6,02 \cdot 10^{23}$
3) $6 N_6 + 7 N_7 = 6,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$

Из первого уравнения выразим $N_6$:
$N_6 = 6,02 \cdot 10^{23} - N_7$

Подставим это выражение в уравнение (3):
$6(6,02 \cdot 10^{23} - N_7) + 7 N_7 = 6,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$
$6 \cdot (6,02 \cdot 10^{23}) - 6 N_7 + 7 N_7 = 6,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$
$N_7 = 6,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23}) - 6 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$
$N_7 = (6,25 - 6) \cdot (6,02 \cdot 10^{23}) = 0,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$

Теперь найдем $N_6$:
$N_6 = (6,02 \cdot 10^{23}) - N_7 = (6,02 \cdot 10^{23}) - 0,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$
$N_6 = (1 - 0,25) \cdot (6,02 \cdot 10^{23}) = 0,75 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})$

Искомое отношение числа атомов лития-6 к числу атомов лития-7:
$\frac{N_6}{N_7} = \frac{0,75 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})}{0,25 \cdot (6,02 \cdot 10^{23})} = \frac{0,75}{0,25} = 3$

Ответ: на один атом лития-7 приходится 3 атома лития-6.