Номер 444, страница 82 - гдз по химии 8 класс сборник задач Хвалюк, Резяпкин

444. Период полураспада цезия-137 равен 30 лет. Какая доля цезия от начального количества сохранится через 90 лет?

Дано:

Период полураспада цезия-137, $T_{1/2} = 30$ лет
Прошедшее время, $t = 90$ лет

Поскольку для расчета требуется отношение времен $t/T_{1/2}$, перевод в систему СИ (секунды) не является обязательным, так как единицы измерения (годы) сократятся.

Найти:

Долю сохранившегося цезия от начального количества, $N/N_0$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ следующей формулой:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы найти долю сохранившегося вещества, необходимо найти отношение $N/N_0$. Для этого разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Сначала определим, сколько периодов полураспада прошло за 90 лет. Для этого разделим общее время $t$ на период полураспада $T_{1/2}$:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90 \text{ лет}}{30 \text{ лет}} = 3$

Таким образом, за 90 лет прошло ровно 3 периода полураспада.

Теперь подставим это значение в формулу для доли оставшегося вещества:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-3}$

Вычислим полученное значение:

$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Этот результат можно получить и с помощью логических рассуждений. Период полураспада — это время, за которое распадается половина имеющихся ядер. Через 30 лет (первый период полураспада) останется $1/2$ от начального количества. Еще через 30 лет, то есть через 60 лет от начала, останется половина от половины, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Наконец, еще через 30 лет, то есть через 90 лет от начала, останется половина от четверти, то есть $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ от первоначального количества.

Ответ: через 90 лет сохранится $\frac{1}{8}$ доля цезия от начального количества.