Номер 22.4, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.4. Решите уравнение $ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{6x-11}. $

Исходное уравнение: $\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{6x-11}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все подкоренные выражения неотрицательны:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$6x - 11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{6}$

Пересечением данных условий является $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [2, +\infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, поскольку в ОДЗ они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{6x-11})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, раскрываем левую часть:

$(x-2) + 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + (x+3) = 6x-11$

Приводим подобные слагаемые:

$2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} = 6x-11$

Изолируем оставшийся радикал:

$2\sqrt{x^2 + x - 6} = 6x - 11 - 2x - 1$

$2\sqrt{x^2 + x - 6} = 4x - 12$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{x^2 + x - 6} = 2x - 6$

3. Перед повторным возведением в квадрат необходимо убедиться, что правая часть уравнения неотрицательна, так как она равна значению арифметического квадратного корня:

$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$

Это новое условие ($x \ge 3$) является более строгим, чем ОДЗ. Любой корень уравнения должен ему удовлетворять. Теперь возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + x - 6})^2 = (2x - 6)^2$

$x^2 + x - 6 = 4x^2 - 24x + 36$

4. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = (4x^2 - x^2) + (-24x - x) + (36 + 6)$

$3x^2 - 25x + 42 = 0$

Находим корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{25 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 11}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{25 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{25 + 11}{6} = \frac{36}{6} = 6$

5. Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Для корня $x_1 = \frac{7}{3}$, представим его в виде смешанного числа: $\frac{7}{3} = \bf{2}\frac{1}{3}$. Так как $2\frac{1}{3} < 3$, этот корень является посторонним.

Для корня $x_2 = 6$, условие $6 \ge 3$ выполняется.

Выполним проверку, подставив $x=6$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{6-2} + \sqrt{6+3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

Правая часть: $\sqrt{6 \cdot 6 - 11} = \sqrt{36-11} = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку $5=5$, корень $x=6$ является верным решением.

Ответ: 6