Номер 22.9, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

22.9. Найдите среднее арифметическое целых корней уравнения

$\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}} = 1.$

Исходное уравнение: $ \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} + \sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}} = 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним квадратным корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x+1 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge -1$.

Заметим, что выражения под внешними корнями можно преобразовать в полные квадраты, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Для первого слагаемого:
$x+5-4\sqrt{x+1} = (x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4 = (\sqrt{x+1})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x+1} + 2^2 = (\sqrt{x+1}-2)^2$.
Для второго слагаемого:
$x+2-2\sqrt{x+1} = (x+1) - 2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+1} + 1^2 = (\sqrt{x+1}-1)^2$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение и воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+1}-1)^2} = 1$
$|\sqrt{x+1}-2| + |\sqrt{x+1}-1| = 1$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Так как $x \ge -1$, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:
$|y-2| + |y-1| = 1$.
Это уравнение можно интерпретировать геометрически: сумма расстояний от точки $y$ на числовой оси до точек 1 и 2 равна 1. Это условие выполняется для всех точек $y$, находящихся на отрезке между 1 и 2 включительно.
Следовательно, решением для $y$ является отрезок $1 \le y \le 2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
$1 \le \sqrt{x+1} \le 2$.
Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$1^2 \le (\sqrt{x+1})^2 \le 2^2$
$1 \le x+1 \le 4$.
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0 \le x \le 3$.

Решением уравнения является множество значений $x$ на отрезке $[0, 3]$. Нас интересуют только целые корни. Целые числа, входящие в этот отрезок, это: $0, 1, 2, 3$.

На последнем шаге найдем среднее арифметическое этих корней.
Сумма корней: $0 + 1 + 2 + 3 = 6$.
Количество корней: 4.
Среднее арифметическое: $\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Найдите среднее арифметическое целых корней уравнения: Ответ: 1$\frac{1}{2}$.