Номер 21.5, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.5. Постройте график функции:

а) $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$;

б) $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$;

в) $f(x) = -\sqrt[3]{|x|} - 2$;

г) $g(x) = \sqrt[4]{|x - 2|}$.

а) $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$. Этот график проходит через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$ и симметричен относительно начала координат.
2. Заметим, что функция $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ является четной, поскольку $f(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
3. Для получения графика $y = \sqrt[3]{|x|}$ мы используем правило построения графика $y=f(|x|)$. Часть графика $y = \sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$ (правая ветвь) остается без изменений. Часть графика для $x < 0$ (левая ветвь) удаляется, а вместо нее строится симметричное отражение правой ветви относительно оси $Oy$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$. Правая ветвь совпадает с графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \ge 0$, а левая является ее зеркальным отражением. График имеет точку заострения (касп) в начале координат $(0, 0)$.

б) $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$

Для построения графика функции $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$ выполним следующие шаги:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$. Эта функция определена только для $x \ge 0$. Ее график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(16, 2)$ и целиком расположен в первой координатной четверти.
2. Функция $g(x) = \sqrt[4]{|x|}$ является четной, так как $g(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = g(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
3. При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$, поэтому на этом промежутке график $g(x)$ совпадает с графиком $y = \sqrt[4]{x}$.
4. Используя свойство четности, отражаем часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$. Правая ветвь совпадает с графиком функции $y = \sqrt[4]{x}$. График имеет точку заострения (касп) в начале координат $(0, 0)$.

в) $f(x) = -\sqrt[3]{|x|} - 2$

Для построения графика функции $f(x) = -\sqrt[3]{|x|} - 2$ применим последовательные преобразования к графику функции $y = \sqrt[3]{|x|}$, построенному в пункте а).

1. Строим промежуточный график функции $y_1 = -\sqrt[3]{|x|}$. Этот график получается из графика $y = \sqrt[3]{|x|}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Ветви графика, ранее направленные вверх, теперь будут направлены вниз.
2. Далее строим искомый график функции $f(x) = -\sqrt[3]{|x|} - 2 = y_1 - 2$. Он получается из графика $y_1$ путем сдвига всего графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Ответ: График функции получается из графика $y=\sqrt[3]{|x|}$ путем его отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 2 единицы вниз. Точка заострения (касп) будет находиться в точке $(0, -2)$. График симметричен относительно оси $Oy$, а его ветви направлены вниз.

г) $g(x) = \sqrt[4]{|x - 2|}$

Для построения графика функции $g(x) = \sqrt[4]{|x - 2|}$ применим преобразование к графику функции $y = \sqrt[4]{|x|}$, построенному в пункте б).

1. График функции $y = f(x-a)$ получается из графика $y = f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц. В нашем случае $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ и $a=2$.
2. Следовательно, график функции $g(x) = \sqrt[4]{|x - 2|}$ получается из графика $y = \sqrt[4]{|x|}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Ответ: График функции получается из графика $y=\sqrt[4]{|x|}$ путем его сдвига на 2 единицы вправо. Точка заострения (касп) смещается из $(0,0)$ в точку $(2, 0)$. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=2$.