Номер 20.11, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.11. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})x - 1,5\sqrt{2} = 0$.

Для нахождения значения выражения $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения, мы будем использовать теорему Виета.

1. Применение теоремы Виета

Данное уравнение $x^2 - (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})x - 1,5\sqrt{2} = 0$ является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1x_2 = q$.

Для нашего уравнения коэффициенты $p$ и $q$ равны:

$p = -(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})$

$q = -1,5\sqrt{2}$

Следовательно, сумма и произведение корней:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})) = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8}$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = -1,5\sqrt{2}$.

2. Вычисление значения выражения $x_1^2 + x_2^2$

Искомое выражение можно представить через сумму и произведение корней с помощью тождества: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Сначала вычислим квадрат суммы корней:

$(x_1 + x_2)^2 = (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$.

Упростим каждый член выражения:$(\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2}$,$2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2 \cdot \sqrt[4]{16} = 2 \cdot 2 = 4$,$(\sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, $(x_1 + x_2)^2 = \sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4$.

Теперь подставим все полученные значения в формулу для суммы квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (3\sqrt{2} - 4) - 2(-1,5\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4 + 3\sqrt{2}$.

Итоговый результат:

$x_1^2 + x_2^2 = 6\sqrt{2} - 4$.

Ответ: $6\sqrt{2} - 4$.