Номер 20.5, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.5. Найти значение выражения

$(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt[6]{a^3}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$ при $a=0,0625$.

20.5. Для решения данной задачи мы сначала упростим алгебраическое выражение, а затем подставим в него указанное значение переменной $a$.

1. Введем замену, чтобы сделать выражение более наглядным. Пусть $x = \sqrt[4]{a}$.

Тогда остальные корни в выражении можно выразить через $x$:

$\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2 = x^2$

$\sqrt[6]{a^3} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} = x^2$

2. Подставим новую переменную в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right) : \frac{\sqrt[6]{a^3}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1} = \left(\frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2}\right) : \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} $

3. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2(x-1)$:

$ \frac{1}{x-1} - \frac{x+1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x+1)(x-1)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-1^2)}{x^2(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x-1)} = \frac{1}{x^2(x-1)} $

4. Упростим делитель. Заметим, что знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$:

$ \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x^2}{(x-1)^2} $

5. Теперь выполним деление полученных упрощенных дробей:

$ \frac{1}{x^2(x-1)} : \frac{x^2}{(x-1)^2} = \frac{1}{x^2(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2} = \frac{(x-1)}{x^4} $

6. Вернемся к исходной переменной $a$, выполнив обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:

$ \frac{\sqrt[4]{a}-1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a}-1}{a} $

7. Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $a = 0,0625$. Сначала найдем значение корня:

$ \sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{5^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{5}{10} = 0,5 $

8. Подставим найденные значения в упрощенное выражение и вычислим окончательный результат:

$ \frac{0,5-1}{0,0625} = \frac{-0,5}{0,0625} = -8 $

Ответ: -8