Номер 20.7, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.7. Упростите выражение

$\frac{\sqrt[4]{x^5} + \sqrt[4]{xy^4} - \sqrt[4]{x^4y} - \sqrt[4]{y^5}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot (\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам.

1. Преобразуем числитель первой дроби $ \sqrt[4]{x^5} + \sqrt[4]{xy^4} - \sqrt[4]{x^4y} - \sqrt[4]{y^5} $. Вынесем из-под знака корня максимально возможную степень множителя (при условии $ x \ge 0, y \ge 0 $):

$ \sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x} = x\sqrt[4]{x} $

$ \sqrt[4]{xy^4} = y\sqrt[4]{x} $

$ \sqrt[4]{x^4y} = x\sqrt[4]{y} $

$ \sqrt[4]{y^5} = \sqrt[4]{y^4 \cdot y} = y\sqrt[4]{y} $

Подставим полученные выражения в числитель и сгруппируем слагаемые:

$ (x\sqrt[4]{x} + y\sqrt[4]{x}) - (x\sqrt[4]{y} + y\sqrt[4]{y}) $

Теперь вынесем общие множители за скобки:

$ \sqrt[4]{x}(x+y) - \sqrt[4]{y}(x+y) = (x+y)(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) $

2. Преобразуем знаменатель первой дроби $ \sqrt{x} - \sqrt{y} $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, представив $ \sqrt{x} $ как $ (\sqrt[4]{x})^2 $ и $ \sqrt{y} $ как $ (\sqrt[4]{y})^2 $:

$ \sqrt{x} - \sqrt{y} = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) $

3. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{(x+y)(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} \cdot (\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) $

4. Сократим полученное выражение. При условии, что $ x \neq y $, знаменатель не равен нулю, и мы можем сократить общий множитель $ (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) $:

$ \frac{x+y}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} \cdot (\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) $

Далее сокращаем на множитель $ (\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) $, который также не равен нулю:

$ x+y $

20.7. Ответ: $x+y$.