Номер 19.18, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.18. Найдите значение выражения

$\sqrt{12a + 2\sqrt{36a^2 - b^2}} - \sqrt{12a - 2\sqrt{36a^2 - b^2}} - 2\sqrt{6a - b}$ при $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt[3]{3}$.

Для нахождения значения выражения воспользуемся формулой для упрощения вложенных корней (сложных радикалов): $ \sqrt{X \pm 2\sqrt{Y}} = \sqrt{u} \pm \sqrt{v} $, где $ u+v=X $ и $ uv=Y $ (при условии $ u \ge v $). Эта формула является следствием тождества $ (\sqrt{u} \pm \sqrt{v})^2 = u+v \pm 2\sqrt{uv} $.

В нашем выражении первые два слагаемых имеют вид $ \sqrt{12a \pm 2\sqrt{36a^2 - b^2}} $. Здесь $ X=12a $ и $ Y=36a^2 - b^2 $. Нам необходимо найти два числа, $ u $ и $ v $, такие что их сумма равна $ 12a $, а произведение равно $ 36a^2 - b^2 $. Решая систему уравнений $ u+v=12a $ и $ uv=36a^2-b^2 $, легко найти, что $ u = 6a+b $ и $ v = 6a-b $.

Прежде чем применить формулу, убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны при заданных значениях $ a=\sqrt{2} $ и $ b=\sqrt[3]{3} $. Поскольку $ b = \sqrt[3]{3} > 0 $, то очевидно, что $ 6a+b > 6a-b $, таким образом, условие $ u \ge v $ выполняется. Проверим знак выражения $ v = 6a-b $. Для этого сравним $ 6a $ и $ b $, то есть $ 6\sqrt{2} $ и $ \sqrt[3]{3} $. Возведем оба числа в 6-ю степень для удобства сравнения: $ (6\sqrt{2})^6 = 6^6 \cdot (\sqrt{2})^6 = 46656 \cdot 8 = 373248 $ и $ (\sqrt[3]{3})^6 = 3^2=9 $. Так как $ 373248 > 9 $, то $ 6\sqrt{2} > \sqrt[3]{3} $, и, следовательно, $ v = 6a-b > 0 $. Это означает, что все выражения под корнями вещественны и положительны.

Теперь мы можем преобразовать первые два слагаемых исходного выражения:

$ \sqrt{12a + 2\sqrt{36a^2 - b^2}} = \sqrt{(\sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b})^2} = |\sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b}| = \sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b} $

$ \sqrt{12a - 2\sqrt{36a^2 - b^2}} = \sqrt{(\sqrt{6a+b} - \sqrt{6a-b})^2} = |\sqrt{6a+b} - \sqrt{6a-b}| = \sqrt{6a+b} - \sqrt{6a-b} $ (поскольку $ u>v>0 $).

Подставим полученные результаты обратно в исходное выражение и выполним упрощение:

$ (\sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b}) - (\sqrt{6a+b} - \sqrt{6a-b}) - 2\sqrt{6a-b} = $

$ = \sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b} - \sqrt{6a+b} + \sqrt{6a-b} - 2\sqrt{6a-b} = $

$ = (\sqrt{6a+b} - \sqrt{6a+b}) + (\sqrt{6a-b} + \sqrt{6a-b}) - 2\sqrt{6a-b} = $

$ = 0 + 2\sqrt{6a-b} - 2\sqrt{6a-b} = 0 $.

19.18. Ответ: 0