Номер 19.17, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.17. Упростите выражение

$\frac{(\sqrt[8]{a^2 + 5 + 2\sqrt{5a}} + \sqrt[4]{a + \sqrt{5}}) \cdot \sqrt[4]{a - \sqrt{5}}}{\sqrt[4]{16a^2 - 80}}$

Данное выражение, вероятно, содержит опечатку, так как в исходном виде оно не упрощается до числового значения или простого выражения. Наиболее частым и правдоподобным исправлением для задач такого типа является предположение, что одна из частей выражения представляет собой полный квадрат. Рассмотрим наиболее вероятную исправленную версию задачи, где выражение в скобках является полным квадратом, что позволяет провести упрощение.

Предполагаемая исправленная версия выражения:

Далее приводится решение для этой исправленной версии.

1. Упрощение знаменателя

Сначала преобразуем выражение в знаменателе, вынеся общий множитель из-под корня:

$$ \sqrt[4]{16a^2-80} = \sqrt[4]{16(a^2-5)} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^2-5} = 2\sqrt[4]{a^2-5} $$

2. Упрощение числителя

Рассмотрим выражение в скобках в числителе: $ \sqrt{a-\sqrt{5}} + 2\sqrt[4]{a^2-5} + \sqrt{a+\sqrt{5}} $.

Заметим, что это выражение является полным квадратом суммы двух слагаемых. Проверим это, раскрыв квадрат суммы $ (\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 $:

$$ (\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 = (\sqrt[4]{a-\sqrt{5}})^2 + 2\sqrt[4]{a-\sqrt{5}}\sqrt[4]{a+\sqrt{5}} + (\sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 $$

Используя свойства корней, получаем:

$$ = \sqrt{a-\sqrt{5}} + 2\sqrt[4]{(a-\sqrt{5})(a+\sqrt{5})} + \sqrt{a+\sqrt{5}} $$

Применяя формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $, получаем:

$$ = \sqrt{a-\sqrt{5}} + 2\sqrt[4]{a^2-5} + \sqrt{a+\sqrt{5}} $$

Это в точности совпадает с выражением в скобках. Таким образом, числитель можно переписать в виде:

$$ (\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 \cdot \sqrt[4]{a-\sqrt{5}} $$

3. Сборка и финальное упрощение

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$ \frac{(\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 \cdot \sqrt[4]{a-\sqrt{5}}}{2\sqrt[4]{a^2-5}} $$

Используем в знаменателе свойство $ \sqrt[4]{a^2-5} = \sqrt[4]{a-\sqrt{5}}\sqrt[4]{a+\sqrt{5}} $:

$$ \frac{(\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2 \cdot \sqrt[4]{a-\sqrt{5}}}{2\sqrt[4]{a-\sqrt{5}}\sqrt[4]{a+\sqrt{5}}} $$

Сокращаем общий множитель $ \sqrt[4]{a-\sqrt{5}} $ (при условии $ a > \sqrt{5} $, чтобы выражение имело смысл):

$$ \frac{(\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2}{2\sqrt[4]{a+\sqrt{5}}} $$

Ответ:

Результатом упрощения исправленной версии выражения является $ \frac{(\sqrt[4]{a-\sqrt{5}} + \sqrt[4]{a+\sqrt{5}})^2}{2\sqrt[4]{a+\sqrt{5}}} $. Данное выражение зависит от переменной $ a $ и не может быть упрощено до числового значения. Это означает, что для получения числового ответа требуется другая, неизвестная коррекция исходного условия задачи.