Номер 19.13, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.13. Вычислите:

a) $ \sqrt[4]{(4\sqrt{5}-9)^4} + \sqrt[4]{(4\sqrt{5}+9)^4} $;

б) $ \sqrt[6]{(3\sqrt{7}+8)^6} - \sqrt[6]{(3\sqrt{7}-8)^6} - 16 $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В нашем случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число).
$\sqrt[4]{(4\sqrt{5}-9)^4} + \sqrt[4]{(4\sqrt{5}+9)^4} = |4\sqrt{5}-9| + |4\sqrt{5}+9|$.
Далее необходимо раскрыть модули. Для этого определим знаки подмодульных выражений.
Сравним $4\sqrt{5}$ и $9$. Для этого возведем оба числа в квадрат:
$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.
$9^2 = 81$.
Поскольку $80 < 81$, то $4\sqrt{5} < 9$, следовательно, выражение $4\sqrt{5}-9$ отрицательно.
Значит, $|4\sqrt{5}-9| = -(4\sqrt{5}-9) = 9-4\sqrt{5}$.
Выражение $4\sqrt{5}+9$ является суммой двух положительных чисел, поэтому оно положительно.
Значит, $|4\sqrt{5}+9| = 4\sqrt{5}+9$.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:
$(9-4\sqrt{5}) + (4\sqrt{5}+9) = 9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + 9 = 18$.
Ответ: 18

б) Аналогично пункту а), используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Здесь показатель корня и степень выражения равны 6 (четное число).
$\sqrt[6]{(3\sqrt{7}+8)^6} - \sqrt[6]{(3\sqrt{7}-8)^6} - 16 = |3\sqrt{7}+8| - |3\sqrt{7}-8| - 16$.
Раскроем модули, определив знаки выражений внутри них.
Выражение $3\sqrt{7}+8$ положительно, так как это сумма двух положительных чисел.
$|3\sqrt{7}+8| = 3\sqrt{7}+8$.
Сравним $3\sqrt{7}$ и $8$. Возведем их в квадрат:
$(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
$8^2 = 64$.
Так как $63 < 64$, то $3\sqrt{7} < 8$, и, следовательно, выражение $3\sqrt{7}-8$ отрицательно.
Значит, $|3\sqrt{7}-8| = -(3\sqrt{7}-8) = 8-3\sqrt{7}$.
Подставим раскрытые модули в исходное выражение:
$(3\sqrt{7}+8) - (8-3\sqrt{7}) - 16 = 3\sqrt{7}+8 - 8 + 3\sqrt{7} - 16 = 6\sqrt{7} - 16$.
Ответ: $6\sqrt{7} - 16$