Номер 19.6, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.6. Представьте в виде корней одной и той же степени выражения:

a) $\sqrt[9]{a}$, $\sqrt{b}$ и $\sqrt[6]{c}$;

б) $\sqrt[5]{a}$, $\sqrt[6]{b}$ и $\sqrt[15]{c}$.

Чтобы привести выражения в виде корней одной и той же степени, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней корней. Это число и будет новым, общим показателем для всех корней. Затем, для каждого корня, нужно домножить его показатель и степень подкоренного выражения на частное от деления НОК на исходный показатель корня.

а) Даны выражения $\sqrt[9]{a}$, $\sqrt{b}$ и $\sqrt[6]{c}$.
Показатели корней: 9, 2 (для $\sqrt{b}$) и 6. Найдем наименьшее общее кратное для этих чисел: НОК(9, 2, 6) = 18. Это будет общий показатель для всех корней.
Приведем каждый корень к показателю 18:

• $\sqrt[9]{a} = \sqrt[9 \cdot 2]{a^2} = \sqrt[18]{a^2}$ (дополнительный множитель 2, так как $18/9=2$)
• $\sqrt{b} = \sqrt[2]{b} = \sqrt[2 \cdot 9]{b^9} = \sqrt[18]{b^9}$ (дополнительный множитель 9, так как $18/2=9$)
• $\sqrt[6]{c} = \sqrt[6 \cdot 3]{c^3} = \sqrt[18]{c^3}$ (дополнительный множитель 3, так как $18/6=3$)

Ответ: $\sqrt[18]{a^2}$, $\sqrt[18]{b^9}$, $\sqrt[18]{c^3}$.

б) Даны выражения $\sqrt[5]{a}$, $\sqrt[6]{b}$ и $\sqrt[15]{c}$.
Показатели корней: 5, 6 и 15. Найдем наименьшее общее кратное для этих чисел: НОК(5, 6, 15) = 30. Это будет общий показатель для всех корней.
Приведем каждый корень к показателю 30:

• $\sqrt[5]{a} = \sqrt[5 \cdot 6]{a^6} = \sqrt[30]{a^6}$ (дополнительный множитель 6, так как $30/5=6$)
• $\sqrt[6]{b} = \sqrt[6 \cdot 5]{b^5} = \sqrt[30]{b^5}$ (дополнительный множитель 5, так как $30/6=5$)
• $\sqrt[15]{c} = \sqrt[15 \cdot 2]{c^2} = \sqrt[30]{c^2}$ (дополнительный множитель 2, так как $30/15=2$)

Ответ: $\sqrt[30]{a^6}$, $\sqrt[30]{b^5}$, $\sqrt[30]{c^2}$.