Номер 18.10, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.10. Найдите, при каких значениях числа a уравнение $x^8 = a^2 - 16$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

Рассмотрим уравнение $x^8 = a^2 - 16$. Левая часть уравнения, $x^8$, является неотрицательной величиной для любого действительного $x$, так как показатель степени — четное число ($x^8 \ge 0$). Следовательно, количество действительных корней уравнения зависит от знака выражения в правой части, $a^2 - 16$.

а) имеет два корня;
Уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1 = \sqrt[8]{a^2 - 16}$ и $x_2 = -\sqrt[8]{a^2 - 16}$), если его правая часть строго положительна. Это приводит к неравенству:
$a^2 - 16 > 0$
$a^2 > 16$
Решением этого неравенства является $|a| > 4$, что соответствует значениям $a$ из объединения промежутков $a < -4$ и $a > 4$.
Ответ: при $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

б) имеет один корень;
Уравнение имеет ровно один корень (конкретно, $x=0$), если его правая часть равна нулю. Это приводит к уравнению:
$a^2 - 16 = 0$
$a^2 = 16$
Решениями этого уравнения являются $a = 4$ и $a = -4$.
Ответ: при $a = 4$ и $a = -4$.

в) не имеет корней.
Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна, так как неотрицательная величина $x^8$ не может быть равна отрицательному числу. Это приводит к неравенству:
$a^2 - 16 < 0$
$a^2 < 16$
Решением этого неравенства является $|a| < 4$, что соответствует значениям $a$ из интервала $-4 < a < 4$.
Ответ: при $a \in (-4; 4)$.