Номер 18.3, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.3. Вычислите:

a) $\sqrt[3]{3\sqrt[4]{81}-1}$;

б) $\sqrt[12]{0,9-\sqrt[7]{-0,0000001}}$;

В) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}+1\frac{1}{9}\cdot\sqrt[3]{-0,027}}$.

а)

Для вычисления выражения $\sqrt[3]{3\sqrt[4]{81}-1}$ выполним действия по порядку, начиная с самых внутренних операций.

1. Сначала найдём значение корня четвёртой степени из 81: $\sqrt[4]{81}$.
Поскольку $81 = 3^4$, то $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

2. Затем подставим полученное значение в выражение под кубическим корнем:
$3 \cdot \sqrt[4]{81} - 1 = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8$.

3. Наконец, вычислим кубический корень из 8:
$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.

Ответ: 2

б)

Для вычисления выражения $\sqrt{\sqrt[12]{0,9 - \sqrt[7]{-0,0000001}}}$ выполним действия по порядку.

1. Найдём значение корня седьмой степени из -0,0000001: $\sqrt[7]{-0,0000001}$.
Представим десятичную дробь как степень: $-0,0000001 = (-0,1)^7$.
Следовательно, $\sqrt[7]{-0,0000001} = \sqrt[7]{(-0,1)^7} = -0,1$.

2. Подставим результат в выражение под корнем 12-й степени:
$0,9 - (-0,1) = 0,9 + 0,1 = 1$.

3. Теперь вычислим последовательно внешние корни:
$\sqrt{\sqrt[12]{1}} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

в)

Для вычисления выражения $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{3\frac{13}{81}} + 1\frac{1}{9} \cdot \sqrt[3]{-0,027}}}$ разобьём его на части.

1. Вычислим значение выражения под кубическим корнем. Для этого найдём значение каждого из двух слагаемых.
Первое слагаемое: $\sqrt[4]{3\frac{13}{81}}$.
- Переведём смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$.
- Извлечём корень: $\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{4}{3}$, так как $4^4=256$ и $3^4=81$.

Второе слагаемое: $1\frac{1}{9} \cdot \sqrt[3]{-0,027}$.
- Вычислим корень: $\sqrt[3]{-0,027} = \sqrt[3]{(-0,3)^3} = -0,3 = -\frac{3}{10}$.
- Переведём смешанное число $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь $\frac{10}{9}$.
- Выполним умножение: $\frac{10}{9} \cdot (-\frac{3}{10}) = -\frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 10} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

2. Сложим полученные значения слагаемых:
$\frac{4}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

3. Подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt{\sqrt[3]{1}} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1