Номер 18.7, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.7. Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt[16]{x^2 - 25} + \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 - x^2}}$

б) $\sqrt[8]{2x^2 - 5x + 2} - \frac{x+7}{\sqrt[3]{4x^2 - 1}}$

а) Область определения выражения $\sqrt[16]{x^2 - 25} + \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 - x^2}}$ находится как пересечение областей определения двух слагаемых. Это приводит к системе из двух условий:

1. Подкоренное выражение корня четной степени (16) должно быть неотрицательным: $x^2 - 25 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение корня четной степени (4), находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным: $x^3 - x^2 > 0$.

Запишем и решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 25 \ge 0 \\ x^3 - x^2 > 0 \end{cases} $

Решение первого неравенства $x^2 - 25 \ge 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) \ge 0$ есть множество $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

Решение второго неравенства $x^3 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2(x-1) > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, данное неравенство выполняется, если $x^2 \ne 0$ и $x-1 > 0$. Это равносильно условию $x > 1$, то есть $x \in (1, \infty)$.

Для нахождения итоговой области определения найдем пересечение полученных множеств: $(-\infty, -5] \cup [5, \infty) \cap (1, \infty)$. Пересечением является промежуток $[5, \infty)$. Ответ: $x \in [5, \infty)$.

б) Область определения выражения $\sqrt[8]{2x^2 - 5x + 2} - \frac{x+7}{\sqrt[3]{4x^2 - 1}}$ находится из системы условий:

1. Подкоренное выражение корня четной степени (8) должно быть неотрицательным: $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Так как корень нечетной степени (3) определен для любого действительного числа, условие сводится к тому, что подкоренное выражение не равно нулю: $4x^2 - 1 \ne 0$.

Запишем и решим систему:

$ \begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 \ge 0 \\ 4x^2 - 1 \ne 0 \end{cases} $

Для решения первого неравенства $2x^2 - 5x + 2 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является множество $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$.

Решим второе условие: $4x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow (2x-1)(2x+1) \ne 0$. Отсюда $x \ne \frac{1}{2}$ и $x \ne -\frac{1}{2}$.

Найдем пересечение решений. Необходимо из множества $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ исключить точки $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Исключение $x = \frac{1}{2}$ из $(-\infty, \frac{1}{2}]$ дает $(-\infty, \frac{1}{2})$. Исключение $x = -\frac{1}{2}$ из этого промежутка разбивает его на два: $(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Промежуток $[2, \infty)$ не содержит исключаемых точек. Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup [2, \infty)$.